第一類斯特林數
第一類斯特林數
\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) ，將\(n\) 個元素劃分為\(m\) 個圓排列的方案數。
遞推
遞推式可以列舉最後一個元素是否放一個新的排列：\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}+(n-1)\times \begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}\)
下面用\(s(n,m)\) 表示\(\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}\) 。
性質
\[ \begin{aligned}n!=\sum_{i=0}^n s(n,i)\end{aligned} \]
證明：考慮其組合意義。一個排列唯一對應一個置換，而一個置換唯一對應一組輪換。比如排列\((1,5,2,3,4)\) ，就可以看作輪換組\([1][2,5,4][3]\) 。如果兩個排列不同，那他們對應的輪換中，必定有一個元素的下一個元素不同，故排列與輪換一一對應。所以等式右側的式子就是有 $0\sim n $ 個輪換的方案數。
求法
現在要快速求出第一類斯特林數的某一行。
直接給出定義，\(s(n,*)\) 這東西的生成函式等於\(\prod\limits_{i=0}^{n-1} (x+i)\) ，也就是\(x\) 的\(n\) 次上升冪。
於是就可以分治\(\mathrm{NTT}\) 來求了，複雜度\(O(n\log^2 n)\) 。具體實現用\(\mathrm{vector}\) 比較好寫。
當然也可以\(O(n\log n)\) 。
令\(F_n(x)=\prod\limits_{i=0}^{n-1}(x+i)\) ，則\(F_{2n}(x)=F_n(x)\times F_n(x+n)\) 。
考慮如何用\(F_n(x)\) 快速求出\(F_{n}(x+n)\) 。
設\(F_n(x)=\sum_\limits{i=0}^{n-1}a_ix^i\)
\[ \begin{aligned}F_n(x+n)=&\sum_{i=0}^{n} a_i(x+n)^i\\=&\sum_{i=0}^{n} a_i\times \sum_{j=0}^i C_i^jn^{i-j}x^j\\=&\sum_{i=0}^{n} x^i\times \sum_{j=i}^{n}C_j^in^{j-i}a_j\\=&\sum_{i=0}^{n}x^i\times \sum_{j=i}^{n}\frac{j!}{i!(j-i)!}n^{j-i}a_j \end{aligned} \]
所以設\(F_n(x+n)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} b_ix^i,c_i=i!\times a_i,d_i=\frac{n^i}{i!}\) ，那麼
\[ b_i\times i!=\sum_j c_j\times d_{j-i} \]
把
\(d\)
翻轉以後是一個標準的卷積式子，直接倍增就好了。
實現的小細節就是，如果當前長度\(len\) 為奇數，不能除以\(2\) ，所以直接遞迴\(len-1\) ，然後回來之後乘上\((x+len-1)\) 就行了。