必修一 集合與函式概念
總目錄
前言
本文介紹集合與函式概念:
一、集合
二、函式及其表示
三、函式的基本性質
環境
1.參考書:《數學 必修1》人教版
內容
符號表


一、集合
1.集合概念
1.概念:研究物件統稱為元素(element),元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱集)。
通常用大寫字母A,B,C,...表示集合,用小寫字母a,b,c...表示集合中的元素。
如果a是集合A的元素,就說a屬於(belong to)集合A,記作a∈A;
如果a不是集合A的元素,就說a不屬於(not belong to)集合A,記作a∉A。
2.特點:集合中的元素具有確定性,互異性,無序性。
3.表示:集合有以下四種表示方法:
(1)自然語言法:用文字敘述,例如:1-20內所有質數;
(2)列舉法:把集合中元素一一寫在大括號內 {},例如:A={0,1,2,3,4,5,6,7,8};
(3)描述法:用集合所含元素的共同特徵表示集合 { x|x的條件 },例如:A={x∈R|x<10};
(4)圖示法:用數軸或韋恩圖表示集合。
4.分類:集合分為以下3類:
(1)有限集:集合含有有限個元素;
(2)無限集:集合含有無限個元素;
(3)空集(∅):集合不含任何元素;
2.集合間的基本關係
集合間的關係有以下三種:

若集合A有n(n≥1)個元素,則它有2ⁿ個子集,2ⁿ-1個真子集,2ⁿ-1個非空子集,2ⁿ-2非空真子集.
3.集合間的基本運算

1.交集:由屬於集合A且屬於集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B。
2.並集:由屬於集合A或屬於集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的並集,記作A∪B。
3.補集:如果一個集合含有所研究問題的所有元素,那麼稱這個集合為全集,通常記作U。對於集合A,由全集U中不屬於集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對於全集U的補集,簡稱為集合A的補集,記作CᵤA。
二、函式及其表示
1.函式概念
1.函式概念:設A、B是非空數集,如果按照某種確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個數x,在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應,那麼就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函式,記作:y=f(x),x∈A。
2.函式三要素:定義域,值域和對應關係。概念中,x為自變數,A為函式的定義域,y為函式值,y的集合{f(x)|x∈A}為值域,f為對應關係。
3.同一函式:如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致,那麼稱這兩個函式相等。
4.區間的概念:
設a,b是兩個實數,而且 a<b。我們規定:
- 滿足不等式 a≤x≤b 的實數x的集合叫做閉區間,表示為[a,b];
- 滿足不等式 a<x<b 的實數x的集合叫做開區間,表示為(a,b);
- 滿足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的實數x的集合叫做半開半閉區間,分別表示為[a,b),(a,b];
- 滿足不等式 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的實數x的集合分別表示為[a,+∞),(a,+∞),(-∞,b],(-∞,b)。
2.函式的表示
1.函式常用的三種表示法:
- 解析法:用數學表示式表示兩個變數之間的對應關係;
- 影象法:用影象表示兩個變數之間的對應關係;
- 列表法:用表格表示兩個變數之間的對應關係。
2.對映的概念:設A,B是兩個非空集合,如果按照某一個確定的對應關係f,使對於集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應,那麼就稱對應f:A→B為集合A到集合B的一個對映。
3.對映與函式的區別:函式是一種特殊的對映,它要求兩個集合中的元素必須是數,而對映中兩個集合的元素是任意的數學物件。
三、函式的基本性質
1.單調性

1.最大值:設函式 y=f(x) 的定義域為 I,如果存在實數M滿足:
(1)對於任意的 x∈I,都有 f(x)≤M;
(2)存在 x 0 ∈I,使得 f(x 0 )=M。
那麼,稱M是函式y=f(x)的最大值。
2.最小值:設函式 y=f(x) 的定義域為 I,如果存在實數M滿足:
(1)對於任意的 x∈I,都有 f(x)≥M;
(2)存在 x 0 ∈I,使得 f(x 0 )=M。
那麼,稱M是函式y=f(x)的最小值。
2.奇偶性

1.奇函式在y軸兩側相對稱的區間增減性相同;
2.偶函式在y軸兩側相對稱的區間增減性相反;
後語
下篇介紹《必修一 基本初等函式(I)》,待續...