必修一 集合與函式概念
總目錄
前言
本文介紹集合與函式概念：
一、集合
二、函式及其表示
三、函式的基本性質
環境
1.參考書：《數學 必修1》人教版
內容
符號表
一、集合
1.集合概念
1.概念：研究物件統稱為元素(element)，元素組成的總體叫做集合(set)(簡稱集)。
通常用大寫字母A,B,C,...表示集合，用小寫字母a,b,c...表示集合中的元素。
如果a是集合A的元素，就說a屬於(belong to)集合A，記作a∈A；
如果a不是集合A的元素，就說a不屬於(not belong to)集合A，記作a∉A。
2.特點：集合中的元素具有確定性，互異性，無序性。
3.表示：集合有以下四種表示方法：
(1)自然語言法：用文字敘述，例如：1-20內所有質數；
(2)列舉法：把集合中元素一一寫在大括號內 {}，例如：A={0,1,2,3,4,5,6,7,8}；
(3)描述法：用集合所含元素的共同特徵表示集合 { x|x的條件 }，例如：A={x∈R|x<10}；
(4)圖示法：用數軸或韋恩圖表示集合。
4.分類：集合分為以下3類：
(1)有限集：集合含有有限個元素；
(2)無限集：集合含有無限個元素；
(3)空集(∅)：集合不含任何元素；
2.集合間的基本關係
集合間的關係有以下三種：
若集合A有n(n≥1)個元素，則它有2ⁿ個子集，2ⁿ-1個真子集，2ⁿ-1個非空子集，2ⁿ-2非空真子集.
3.集合間的基本運算
1.交集：由屬於集合A且屬於集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B。
2.並集：由屬於集合A或屬於集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的並集，記作A∪B。
3.補集：如果一個集合含有所研究問題的所有元素，那麼稱這個集合為全集，通常記作U。對於集合A，由全集U中不屬於集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對於全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作CᵤA。
二、函式及其表示
1.函式概念
1.函式概念：設A、B是非空數集，如果按照某種確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函式，記作：y=f(x)，x∈A。
2.函式三要素：定義域，值域和對應關係。概念中，x為自變數，A為函式的定義域，y為函式值，y的集合{f(x)|x∈A}為值域，f為對應關係。
3.同一函式：如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，那麼稱這兩個函式相等。
4.區間的概念：
設a，b是兩個實數，而且 a<b。我們規定：
- 滿足不等式 a≤x≤b 的實數x的集合叫做閉區間，表示為[a,b]；
- 滿足不等式 a<x<b 的實數x的集合叫做開區間，表示為(a,b)；
- 滿足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的實數x的集合叫做半開半閉區間，分別表示為[a,b)，(a,b]；
- 滿足不等式 x≥a,x>a,x≤b,x<b 的實數x的集合分別表示為[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)。
2.函式的表示
1.函式常用的三種表示法：
- 解析法：用數學表示式表示兩個變數之間的對應關係；
- 影象法：用影象表示兩個變數之間的對應關係；
- 列表法：用表格表示兩個變數之間的對應關係。
2.對映的概念：設A，B是兩個非空集合，如果按照某一個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：A→B為集合A到集合B的一個對映。
3.對映與函式的區別：函式是一種特殊的對映，它要求兩個集合中的元素必須是數，而對映中兩個集合的元素是任意的數學物件。
三、函式的基本性質
1.單調性
1.最大值：設函式 y=f(x) 的定義域為 I，如果存在實數M滿足：
(1)對於任意的 x∈I，都有 f(x)≤M；
(2)存在 x 0 ∈I，使得 f(x 0 )=M。
那麼，稱M是函式y=f(x)的最大值。
2.最小值：設函式 y=f(x) 的定義域為 I，如果存在實數M滿足：
(1)對於任意的 x∈I，都有 f(x)≥M；
(2)存在 x 0 ∈I，使得 f(x 0 )=M。
那麼，稱M是函式y=f(x)的最小值。
2.奇偶性
1.奇函式在y軸兩側相對稱的區間增減性相同；
2.偶函式在y軸兩側相對稱的區間增減性相反；
後語
下篇介紹《必修一 基本初等函式(I)》，待續...