數論之中國剩餘定理

摘要： 中國剩餘定理是中國古代求解一次同餘式組（見同餘）的方法，是數論中一個重要定理，又稱孫子定理。 孫子定理 孫子定理主要用來求解模線性不定方程組。 對於方程組： x0 ≡a0 (mod b0 ...

中國剩餘定理是中國古代求解一次同餘式組（見同餘）的方法，是數論中一個重要定理，又稱孫子定理。

孫子定理

孫子定理主要用來求解模線性不定方程組。

對於方程組：

x₀ ≡a₀ (mod b₀ )

x₁ ≡a₁ (mod b₁ )

x₂ ≡a₂ (mod b₂ )

.  .  .  

x_n ≡a_n (mod b_n )

設m=b₀ *b₁ *b₂ *...*b_n， m_i =m/b_i

得到方程組

m_i x_i +b_i y_i =1

擴歐求解後，原模線性方程組的解為：

∑m_i *a_i *x_i mod m

看程式碼吧：

 1 #include <cstdio>
 2 using namespace std;
 3 const int MAXN=10050;
 4 int n;
 5 int a[MAXN],b[MAXN];
 6 
 7 void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y)
 8 {
 9if(a%b==0)
10{
11x=0;y=1;return ;
12}
13exgcd(b,a%b,x,y);
14long long t=x;
15x=y;y=t-a/b*y;
16 }
17 
18 long long China_Reminder(int n)
19 {
20long long m=1,mi,res=0,x,y;
21for(int i=1;i<=n;i++)m*=b[i];
22for(int i=1;i<=n;i++)
23{
24mi=m/b[i];
25exgcd(mi,b[i],x,y);
26x=(x%b[i]+b[i])%b[i];
27res=(res+mi*a[i]*x%m)%m;
28}
29return (res+m)%m;
30 }
31 
32 int main()
33 {
34scanf("%d",&n);
35for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d %d",&a[i],&b[i]);
36printf("%lld\n",China_Reminder(n));
37return 0;
38 }

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例題：fzu1402 豬的安家