用程式碼理解黎曼猜想

摘要： 關於黎曼猜想的話題，最近真的很紅。好多文章真是又臭又長，雲裡霧裡看它半小時都不到正題。倒底黎曼猜想是啥，還沒看到有能說清楚的。 面試工程師，是團隊建立初期要做的最重要的事情。我在做技術面試時，是會請面試人當場在白板上手寫程式碼作為考題（whiteboard coding intervie...

關於黎曼猜想的話題，最近真的很紅。好多文章真是又臭又長，雲裡霧裡看它半小時都不到正題。倒底黎曼猜想是啥，還沒看到有能說清楚的。

面試工程師，是團隊建立初期要做的最重要的事情。我在做技術面試時，是會請面試人當場在白板上手寫程式碼作為考題（whiteboard coding interview）。如果是遠端不方便用白板，也會通過 ofollow,noindex" target="_blank">https://codepad.remoteinterview.io/ 或者 Skype 共享螢幕來進行面試。

我會提出一個簡單的演算法題，不是對類庫和方法的記憶力比賽，而是看解決問題的思路和能力。然後請面試的童鞋在白板上用自己擅長的語言作答，甚至偽碼也可以。

真實世界中，我是不會用黎曼ζ函式這麼複雜的公式做面試問題。但是一直想聊聊手寫程式碼面試這個話題。所以，在這篇文章中，我打算一邊解釋黎曼ζ函式和黎曼猜想，一邊說說手寫程式碼面試。

function zeta(s, n) {
sum = 0;
for (var i = 1; i <= n; i++) {
sum += 1/(Math.pow(i, s));
}
return sum;
}
 
function main() {
for (var i = 2; i <= 10; i++) {
console.log(`zeta(${i}) = ` + zeta(i, 1000));
}
}
 
main();

將 zeta 單獨封裝成一個函式，而不是像下面兩個 for 迴圈向下面這樣的寫法，就是前面說的對程式碼結構進行拆解，來降低程式碼複雜度，以達到更高的可讀性。

for (var i = 2; i <= 10; i++) {
// 下面這樣的寫法雖然更短，但是可讀性更差，
// 增加別人看懂程式碼的難度，是扣分的
sum = 0;
for (var j = 1; j <= 1000; j++) {
sum += 1/(Math.pow(j, i));
}

console.log(`zeta(${i}) = ${sum}`);
}

正確的輸出結果應該是：

zeta(2) = 1.6439345666815615
zeta(3) = 1.2020564036593433
zeta(4) = 1.082323233378306
zeta(5) = 1.0369277551431222
zeta(6) = 1.017343061984441
zeta(7) = 1.0083492773819207
zeta(8) = 1.004077356197943
zeta(9) = 1.0020083928260817
zeta(10) = 1.0009945751278182

其中 Γ 讀為 Gamma (伽瑪函式)，是一種支援複數（實數加虛數）的階乘。

當 0 < Re(s) < 1 時，表達又不同：

const math = require('mathjs');

function zetaComplex(s, n) {
if (math.re(s) > 1) {
var sum = math.complex(0,0);
for (var i = 1; i <= n; i++) {
sum = math.add(sum, math.divide(1, math.pow(i, s)));
}
return sum;
} else if (math.re(s) > 0) {
var sum = math.complex(0,0);
for (var i = 1; i <= n; i++) {
sum = math.add(sum, math.divide(math.pow(-1, i+1), math.pow(i, s)));
}
return math.prod(math.divide(1, math.subtract(1, math.pow(2, math.subtract(1, s)))), sum);
} else {
return math.pow(2, s) * math.pow(math.PI, math.subtract(s, 1))
* math.sin( math.divide(math.PI * s, 2)) * math.gamma(math.subtract(1, s)) 
* zetaComplex(math.subtract(1, s), n);
}
}

var input = [-1, -2, math.complex(1/2, 14.1347), -3];

input.forEach(function(el) {
console.log(`zeta(${el}) = ` + zetaComplex(el, 1000));
});

ζ(-1) 應該等於 -1/12，先人已經算好。

ζ(-2) 就是黎曼ζ函式中常說的負偶數，結果應該等於 0。

ζ(1/2+14.1347i) 就是黎曼猜想的部分： 除了引數s為負偶數的情形外，令ζ函式結果為0的引數s的實數部分必然是 1/2。

ζ(-3) 應該等於 -1/120。

為了更直白的解釋，程式碼精度有限，所以輸出結果是近似值，大約是：

zeta(-1) = -0.08328269806336473
zeta(-2) = -2.3738653665425513e-18
zeta(0.5 + 14.1347i) = 0.00665796802251104 - 0.00027328853234271006i
zeta(-3) = 0.008333333330770697