Efficient Graph-Based Image Segmentation

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本文相關

• Paper Summary :ofollow,noindex">https://github.com/FDU-VTS/CVPaper
• Code :https://github.com/FDU-VTS/CVCode

原文連結

• http://www.cs.cornell.edu/~dph/papers/seg-ijcv.pdf

基礎知識

• 一張圖是由不同的畫素點構成的，本文的計算和構建都是基於畫素點的運算，即(RGB) 值
• 高斯模糊/拉普拉斯變換:用於轉換影象，減少影象噪聲的平滑演算法
• 最小生成樹(Minimum Spanning Tree | MST) 指的是，在圖中建立一個連通圖並且沒有迴路是生成樹，而最小生成樹指的是構成結果權值最小
• 不同畫素點之間的差:即RGB 值之間的歐氏距離
  • 
• 並查集演算法(union find set)以及克魯斯卡爾演算法(Kruskal)，使用邊建立並查集，並且使用kruskal進行搜尋合併

早期的分割方法

• Zahn提出了一種基於圖的最小生成樹（MST） 的分割方法，用來進行點聚類以及影象分割，前者權值是點間距離，後者權值是畫素差異。
• 不足：根據閾值不同，會導致高可變性（大約是色彩對比強的一個區域）區域劃分為多個區域；將ramp和constant region合併到一起。
• Urquhart提出用邊相連的點中邊權值最小的進行歸一化，找周圍相似的。
• 根據各個區域是否符合某種均勻性標準來分割，找均勻強度或梯度的區域，不適用於某個變化很大的區域。
• 使用特徵空間聚類：通過平滑資料——給定半徑的超球面對各個點擴張其連通分量，找到簇，來保持該區域的邊界，並對資料進行轉換。

基於圖的分割

定義

• G :將影象由畫素點轉化為圖
• V :每一個畫素點都是圖中的點
• E :任意兩個相鄰畫素點之間邊
• C :被劃分的Segmentation ,一個C 中有至少1個畫素點
• Int(C) :區域內最小生成樹權值最大的邊，表示的是，記為
  • 
• Dif(C1,C2) :表示C1和C2之間的距離，記為
  • 
• 最後要形成的分組要求是(表示了所有區域之間的最小距離都比區域內的最大距離和權值的和要大)
  • 
• 其中MInt(C1,C2) 的值為:
  • 
• 閾值設定的原因是為了在開始時，因為只有單個畫素點，那麼點內的距離為0，而點之間的距離還存在，那麼導致無法合併。所以加入閾值。
  • 

分割演算法（與克魯斯卡爾演算法構建最小生成樹有密切關係。）

• 輸入是一個有n個節點和m條邊的圖G，輸出是一系列區域。步驟如下：
• 0.將邊按照權重值以非遞減方式排序
• 1.最初的分割記為S（0），即每一個節點屬於一個區域。
• 2.按照以下的方式由S(q-1)構造S(q)：記第q條邊連線的兩個節點為vi和vj，如果在S(q-1)中vi和vj是分別屬於兩個區域並且第q條邊的權重小於兩個區域的區域內間距，則合併兩個區域。否則令S(q) = S(q-1)。
• 3.從q=1到q=m，重複步驟2。
• 4.返回S(m)即為所求分割區域集合。

補充

高斯濾波器

• 高斯變換就是用高斯函式對影象進行卷積，高斯濾波器是一種線性濾波器，能夠有效抑制噪聲，並平滑影象。其實質是取濾波器視窗內畫素的均值作為輸出。
• 高斯函式公式如下:
  • 其中，u 是x 的均值,σ 是方差。
• 由一維函式，我們可以推匯出二維函式的公式如下：
  • 
• 高斯函式在影象處理中的使用，實際上就是對每個畫素點的周邊畫素取平均值，從而達到平滑的效果，在取值(周邊半徑)時，周圍畫素點的半徑越大，則影象的模糊度就越強。在實際計算時，利用高斯模糊按正態曲線分配周邊畫素的權重，從而求中心點的加權平均值。
• 高斯模糊的具體計算方式如下：
  • 1.將中心點周圍的八個點帶入到高斯函式中，從而得到權重矩陣A1；
  • 2.為使歸一化，將矩陣A1中的各個點除以所有點(9個點)的權重和，得到歸一化後的權重矩陣A2;
  • 3.圖片原始的畫素矩陣分別乘以A2中各自的權重值，將得到的所有點的值加起來求平均，便得到中心點的高斯模糊值。影象中其餘點相同求法。
  • 注：1.彩色圖片，可對RGB三通道分別作高斯模糊。
• 2.σ 代表資料的離散程度，σ 越大，中心繫數越小，影象越平滑；反之，反之。

拉普拉斯變換：是為解決傅立葉變換等幅振盪的缺點。

• 首先了解一下傅立葉變換：傅立葉變換是一種物理上探究頻譜的方法，三角公式是：
  • 
  • 其中,w0 表示基波。
• 由尤拉公式：
  • 
• 將傅立葉三角形式公式中的正餘弦函式用指數函式表示，改寫為用復指數表示的公式，如下：
  • 
• 將上述公式改為積分形式，即得到復指數形式公式為：
  • 
• 但由於傅立葉變換是等幅振盪的正弦波，故當f(t)不斷趨向無窮時，此時函式將不再收斂，這時候便不再適合使用傅立葉變換。於是，我們引入一個衰減因子，對其作變換。對函式y=f(t)乘上一個 ,其中，σ >0。
  • 
• 對上式進行合併同類項，可得到
• 我們將指數中的σ+jw 最初的分割記為S，於是得到拉普拉斯公式：
  •   
• 由上式推導，很清楚的知道，當s=jw時，拉普拉斯函式就變成了傅立葉函式，也就相當於拉氏不再具有衰減功能。
• 又由上述公式可以很直觀地看到當取值 剛好收斂時，則 > 的區域全都收斂。