涼心模擬Day1題解
道歉
由於T2出題人@fengsongquan 不知道他提供題目有原題。
@fengsongquan 道歉原帖
抱歉，第二題題是我看一本數學書（《趣味學數學》（圖靈出版社））的時候想到的，沒想到POJ已經有原題了，我出這題之前根本就沒看到過這個原題，也沒有仔細查有沒有重題，於是就這樣了，我向大家再次道歉,不要再懟了QwQ
且由於我們驗題組沒有在poj上做過這題，導致我們並沒有發現這道題是原題。給洛谷管理員和廣大OIER造成了不好的體驗與影響。
在這裡向全體OIER們和洛谷管理道歉！！！
希望各位OIER能夠原諒我們，以後我們一定會改進，爭取能做的更好。
在這裡再次向各位道歉！
前言
本來早就準備好了題解，但由於比賽出了鍋，我們斟酌再三，還是把題解放了上來。
本場模擬賽為本團隊原創（T2不是）的題目，難度NOIP提高組，三道題都有驗題人驗過題了，題目應該不會有太大問題。
本題解按分數檔給出題解。
第一檔
第一題做法很多，因為資料純隨機，所以可以直接暴搜記憶化，或者一些奇怪的貪心都能過。但是注意記憶化的話記憶體不能開一億個int，可以用記憶體更小的型別來代替。拿不到100分也有70分。
第二題沒什麼想法的話直接特判掉1,2兩個點，20分還是穩的。寫個40分也可以。
第三題看不懂題意可以直接棄療….
70+20=90，這個基本分還是要有的。
第二檔
第一題100分。
第二題直接暴搜記下所有可能的狀態，可以拿到40分。
第三題個人認為拿24分的唯一難點就是看懂題意（Gold_7在花了20分鐘後認為題面描述沒有問題)，直接按照題目描述模擬即可（雖然有點麻煩）。
100+40+24=164，這個應該大多數OIer都能拿到。
第三檔
第一題AC。
第二題40分，第三檔出題人沒有給出合理的解決方案，或許能拿到60分。
第三題可以加個字首和優化能拿到第二個點，48分到手，第三個點可以暴力第一個操作之後使用線段樹維護，可以再拿24分。
那麼可以有100+40+72=212分，這個應該算一個比較高的分數了。
第四檔
接下來關鍵是要二三兩題中挑一道拿到更高分數，對於一般提高組水平的選手可能只能花較多時間在其中一道上。可以看出相對來說第二題更考察思維能力，第三題更考察程式碼能力。這裡推薦A掉第二題。
第二題可以看出是一道結論題。Retcarizy第一眼看到這道題就感覺是與某種東西的奇偶性有關。我們考慮如何使得空格移動之後奇偶性不變。一種方法是將圖中格子按蛇形的方式展開，就像這樣：
Line"/>
我們去掉空格後得到了一個這樣的序列：
14,2,6,7,3,13,1,5,4,11,12,15,9,10,8。
可以發現，無論怎麼移動格子，該序列的逆序對個數的奇偶性不會變。並且該序列的逆序對個數不為0或1時可以通過操作使得逆序對個數減少2。所以對於初始狀態和最終狀態逆序對個數奇偶性不同時一定不可行，而且都是偶數的情況下由於逆序對個數為0的排列是唯一的，所以一定可行。但是對於都是奇數的情況下乍看難以得到一個可行的證明方案。這個問題可以先猜個結論，具體的證明已經有數學家給出了，但是證明過程有點長，這裡就不提供了。
所以我們就求個逆序對個數判下奇偶性相不相同就可以了。其中第7個點是暴力求逆序對（雖然覺得這檔部分分沒什麼用）。
100+100+72=272分，已經是一個很高的分數了。
第五檔
最後一檔當然就是AK了。
大佬在A掉前兩題之後可以開始搞第三題了。第三題是我花了很長時間出出來的水題….其實思維難度並不高，個人認為學過線段樹和矩陣乘法的都能想到正解（只不過程式碼細節有點多而且難調）讀懂題目之後可以大概總結為以下幾個：
區間第i項做某種操作i次，
區間做某項操作，
詢問區間和。
這樣我們可以想到矩陣。通過矩陣方面的理論我們可以這樣描述：
設一次傻逼風暴的轉移矩陣為A，事件1相當於對一段區間分別加上$A^1,A^2,A^3,A^4……$
事件2和事件3都相當於對一段區間乘上一個矩陣。
事件4和事件5都可以通過對一段區間的矩陣求和來實現。
我們知道矩陣符合分配率，矩陣乘法符合結合律（學過矩陣乘法的人往這個方向想一下也不是很難，其實特別好證），所以可以直接扔到線段樹上來維護，標記和維護的鍵值都是用矩陣來描述的。
由於常數比較大，所以把時間限制開到了10s（實測O(鬆)還是隻能拿48分）（標程在常數極其不優秀的情況下極限資料跑了7s）。還有一點要注意，本人在題面中均使用集合的方式來描述區間，所以可以l>r，為了保證寫出正解的人能拿到高分所以我放在了第一個點（對暴力來說並沒有什麼關係）。
標程
T1 天下第一(peerless)
(法一) 記憶化搜尋
這應該是本題的正解
- c++版本
\#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
char f[10005][10005];
int p;
int dfs(int x,int y){
if(x==0) return 1;
if(y==0) return 2;
if(f[x][y]!=0) return f[x][y];
f[x][y]=3;
f[x][y]=dfs(y,(x+y)%p);
if(f[x][y]!=3) f[x][y]^=3;
return f[x][y];
}
int main(){
int T; scanf("%d%d",&T,&p);
while(T--){
int x,y; scanf("%d%d",&x,&y);
int d=dfs(x,y);
if(d==3) puts("error");
else printf("%d\n",d);
}
return 0;
}
- pascal 版本
var
i,s,j,m,n,x,y:longint;
f:array[0..10000,0..10000] of shortint;
function find(x,y:longint):longint;
var i,j:longint;
begin
inc(s);
if f[x,y]=-1 then exit(-2);
if f[x,y]<>0 then exit(f[x,y]);
f[x,y]:=-1;
if x=0 then exit(1);
if y=0 then exit(2);
find:=find((x+y) mod m,(y+x+y) mod m);
if find=-2 then begin f[x,y]:=-2;exit(-2);end else
begin f[x,y]:=find;exit(find);end;
end;
begin
read(n,m);
for i:=1 to n do
begin
read(x,y);
j:=find(x,y);
if j=-2 then writeln('error') else writeln(j);
end;
end.
(法二) 玄學猜想
- pascal
var
i,j,k,n,m,s,t,x,y:longint;
a:array[1..233333]of longint;
begin
readln(n,m);
for i:=1 to n do
begin
readln(x,y);
t:=0;
while (x<>m)and(y<>m) do
begin
x:=x mod m+y mod m;
y:=y mod m+x mod m;
inc(t);
if t=10000 then break;
end;
if x=m then writeln(1);
if y=m then writeln(2);
if t=10000 then writeln('error');
end;
end.
T2 玩遊戲(game)
\#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m,T,pd;
int c[500005],a[505][505];
int lowbit(int x){return x&(-x);}
void add(int x)
{
while (x<=n*m)
{
c[x]+=1;
x+=lowbit(x);
}
}
int sum(int x)
{
int summ=0;
while(x>0)
{
summ+=c[x];
x-=lowbit(x);
}
return summ;
}
int main()
{
// freopen("game6.in","r",stdin);
// freopen("game6.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while (T)
{
memset(c,0,sizeof(c));
T--;
scanf("%d %d",&n,&m);
int sb=n*m,ans=0;
for (int i=n;i>0;i--)
{
if(i%2==1)
{
for (int j=m;j>0;j--)
if (i!=n || j!=m)
{
ans+=sum((i-1)*m+j);
add((i-1)*m+j);
}
} else
if (i%2==0)
{
for (int j=1;j<=m;j++)
if (i!=n || j!=m)
{
ans+=sum((i-1)*m+j);
add((i-1)*m+j);
}
}
}//printf("%d\n",ans);
if (ans%2==0) pd=0;else pd=1;
for (int i=1;i<=n;i++)
{
for (int j=1;j<=m;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
}
memset(c,0,sizeof(c));ans=0;
for (int i=n;i>0;i--)
{
if(i%2==1)
{
for (int j=m;j>0;j--)
if (a[i][j]!=0)
{
ans+=sum(a[i][j]);
add(a[i][j]);
}
} else
if (i%2==0)
{
for (int j=1;j<=m;j++)
if (a[i][j]!=0)
{
ans+=sum(a[i][j]);
add(a[i][j]);
}
}
}
//printf("%d\n",ans);
if (ans%2==pd) printf("1\n");else printf("0\n");
}
return 0;
}
T3 傻逼症(sbvirus)
\#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MOD=998244353,MAX_N=5+1e5;
typedef long long ll;
class Matrix{
ll a[3][3];
public:
ll* operator[](int x){ return a[x]; }
Matrix(){}
Matrix(ll b[3][3]){
for(int i=0;i<3;++i)
for(int j=0;j<3;++j)
a[i][j]=b[i][j];
}
Matrix operator*(Matrix b){
Matrix z;
for(int i=0;i<3;++i)
for(int j=0;j<3;++j)
z[i][j]=0;
for(int i=0;i<3;++i)
for(int k=0;k<3;++k)
if(a[i][k]>0){
for(int j=0;j<3;++j)
z[i][j]=(z[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%MOD;
}
return z;
}
Matrix operator+(Matrix b){
Matrix z;
for(int i=0;i<3;++i)
for(int j=0;j<3;++j){
z[i][j]=a[i][j]+b[i][j];
if(z[i][j]>=MOD) z[i][j]-=MOD;
}
return z;
}
Matrix& operator=(Matrix b){
for(int i=0;i<3;++i)
for(int j=0;j<3;++j)
a[i][j]=b[i][j];
return *this;
}
};
Matrix power[MAX_N],sum[MAX_N];
ll _ie[3][3]={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}};
ll _ze[3][3]={{0,0,0},{0,0,0},{0,0,0}};
ll _gg[3][3]={{0,1,0},{0,0,1},{0,0,1}};
ll _kk[3][3]={{0,0,1},{0,0,0},{0,0,0}};
Matrix ie(_ie),zero(_ze),gg(_gg),kk(_kk);
class SegmentTree{
struct Node{
Matrix key,tag1,tag2;
}tree[MAX_N<<2];
void put_tag(int sz,int p,Matrix tag1,Matrix tag2){
tree[p].tag1=tree[p].tag1*tag1;
tree[p].tag2=tree[p].tag2*tag1+tag2;
tree[p].key=tree[p].key*tag1+sum[sz]*tag2;
}
void down(int l,int r,int p){
int mid=(l+r)>>1;
put_tag(mid-l+1,p+p,tree[p].tag1,tree[p].tag2);
put_tag(r-mid,p+p+1,tree[p].tag1,power[mid-l+1]*tree[p].tag2);
tree[p].tag1=ie,tree[p].tag2=zero;
}
void up(int p){
tree[p].key=tree[p+p].key+tree[p+p+1].key;
}
public:
void build(int p,int l,int r){
tree[p].key=zero,tree[p].tag1=ie,tree[p].tag2=zero;
if(l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
build(p+p,l,mid);
build(p+p+1,mid+1,r);
}
void change(int p,int l,int r,int x,int y,Matrix tag1,Matrix tag2){
if(l==x&&r==y){
put_tag(r-l+1,p,tag1,tag2);
return;
}
down(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) change(p+p,l,mid,x,y,tag1,tag2);
else if(x>mid) change(p+p+1,mid+1,r,x,y,tag1,tag2);
else {
change(p+p,l,mid,x,mid,tag1,tag2);
change(p+p+1,mid+1,r,mid+1,y,tag1,power[mid-x+1]*tag2);
}
up(p);
}
Matrix query(int p,int l,int r,int x,int y){
if(l==x&&r==y) return tree[p].key;
down(l,r,p);
int mid=(l+r)>>1;
if(y<=mid) return query(p+p,l,mid,x,y);
else if(x>mid) return query(p+p+1,mid+1,r,x,y);
else return query(p+p,l,mid,x,mid)+query(p+p+1,mid+1,r,mid+1,y);
}
}seg;
Matrix base,boost;
int getint(){
int ret=0;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
while(c>='0'&&c<='9'){
ret=(ret<<3)+(ret<<1)+c-'0';
c=getchar();
}
return ret;
}
int n,m,c,d;
int main(){
n=getint(),m=getint(),c=getint(),d=getint();
base[0][0]=d+1,base[0][1]=c, base[0][2]=0;
base[1][0]=0, base[1][1]=1, base[1][2]=0;
base[2][0]=d+1,base[2][1]=c, base[2][2]=1;
boost[0][0]=1,boost[0][1]=c+d,boost[0][2]=0;
boost[1][0]=1,boost[1][1]=c+d,boost[1][2]=0;
boost[2][0]=0,boost[2][1]=0, boost[2][2]=1;
seg.build(1,1,n);
power[0]=ie;
for(int i=1;i<=n;++i) power[i]=power[i-1]*base;
sum[0]=zero;
for(int i=1;i<=n;++i) sum[i]=sum[i-1]+power[i];
while(m--){
int opt=getint();
switch(opt){
case 1:{
int i=getint(),k=getint();
if(i-k+1>=1) seg.change(1,1,n,i-k+1,i,ie,ie);
else seg.change(1,1,n,1,i,ie,power[k-i]);
break;
}
case 2:{
int i=getint(),k=getint();
seg.change(1,1,n,max(i-k,1),min(i+k,n),gg,zero);
break;
}
case 3:{
int i=getint(),k=getint();
seg.change(1,1,n,max(i-k,1),min(i+k,n),boost,zero);
break;
}
case 4:{
int l=getint(),r=getint();
if(l>r) printf("0\n");
else printf("%lld\n",(kk*seg.query(1,1,n,l,r))[0][1]);
break;
}
case 5:{
int l=getint(),r=getint();
if(l>r) printf("0\n");
else printf("%lld\n",(kk*seg.query(1,1,n,l,r))[0][0]);
break;
}
}
}
return 0;
}