題解 [IOI1998]Polygon
題目描述
多邊形是一個玩家在一個有n個頂點的多邊形上的遊戲，如圖所示，其中n＝4。每個頂點用整數標記，每個邊用符號+（加）或符號*（乘積）標記。
第一步，刪除其中一條邊。隨後每一步：
選擇一條邊連線的兩個頂點V1和V2，用邊上的運算子計算V1和V2得到的結果來替換這兩個頂點。
遊戲結束時，只有一個頂點，沒有多餘的邊。
如圖所示，玩家先移除編號為3的邊。之後，玩家選擇計算編號為1的邊，然後計算編號為4的邊，最後，計算編號為2的邊。結果是0。
（翻譯者友情提示：這裡每條邊的運算子旁邊的數字為邊的編號，不拿來計算）
編寫一個程式，給定一個多邊形，計算最高可能的分數。
輸入格式
輸入描述一個有n個頂點的多邊形，它包含兩行。第一行是數字n，為總邊數。
第二行描述這個多邊形，一共有2n個讀入，每兩個讀入中第一個是字元，第二個是數字。
第一個字元為第一條邊的計算符號(t代表相加，x代表相乘)，第二個代表頂點上的數字。首尾相連。
3 < = n < = 50
對於任何一系列的操作，頂點數字都在[-32768,32767]的範圍內。
輸出格式
第一行，輸出最高的分數。在第二行，它必須寫出所有可能的被清除後的邊仍能得到最高得分的列表，必須嚴格遞增。
Solution
這道題其實是一道典型的區間dp。
區間dp的一般做法是 列舉區間長度，然後對任意長度為列舉值區間進行dp的轉移。
在本題中，我們定義 $f[i][j]$表示當前的區間為$[i,j]$在運算後的最大值。$g[i][j]$表示當前區間為$[i,j]$在運算後的最小值。
由於題目中要求我們要刪去一條邊，我們很自然的能夠想到破環為鏈。直接把區間變為兩倍，取其中連續的n個數進行運算。
對於每一個區間，我們對其中的每一條邊進行列舉，把當前區間分為兩個區間。且這兩個區間由一個運算子連線。
那麼在轉移中就有多種情況，需要對乘法和加法進行分別考慮。
轉移方程如下：
乘法：
$f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]*f[k+1][r]);$
$f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]*g[k+1][r]);$
$f[l][r]=max(f[l][r],g[l][k]*f[k+1][r]);$
$f[l][r]=max(f[l][r],g[l][k]*g[k+1][r]);$
$g[l][r]=min(g[l][r],f[l][k]*f[k+1][r]);$
$g[l][r]=min(g[l][r],f[l][k]*g[k+1][r]);$
$g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]*f[k+1][r]);$
$g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]*g[k+1][r]);$
加法的轉移與上面基本一樣，這裡就不寫了。
最後只要判斷和統計一下答案就做完了
code:
\#include<bits/stdc++.h>
#define INF 100000007
using namespace std;
int n,a[105];
char s[105][2];
int f[105][105];
int g[105][105];
int main()
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%s",s[i]);
scanf("%d",&a[i]);
}
for (int i=1;i<=n;i++)
{
s[i+n][0]=s[i][0];
a[i+n]=a[i];
}
for (int i=1;i<=n*2;i++)
{
for (int j=i;j<=n*2;j++)
{
if (i==j)
{
f[i][j]=a[i];
g[i][j]=a[i];
}else
{
f[i][j]=-INF;
g[i][j]=INF;
}
}
}
for (int i=1;i<=n;i++)
for (int j=1;j<=2*n-i+1;j++)
{
int l=j; int r=i+j-1;
for (int k=l;k<=r-1;k++)
{
if (s[k+1][0]=='x')
{
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]*f[k+1][r]);
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]*g[k+1][r]);
f[l][r]=max(f[l][r],g[l][k]*f[k+1][r]);
f[l][r]=max(f[l][r],g[l][k]*g[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],f[l][k]*f[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],f[l][k]*g[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]*f[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]*g[k+1][r]);
} else
{
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);
f[l][r]=max(f[l][r],f[l][k]+g[k+1][r]);
f[l][r]=max(f[l][r],g[l][k]+f[k+1][r]);
f[l][r]=max(f[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],f[l][k]+g[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]+f[k+1][r]);
g[l][r]=min(g[l][r],g[l][k]+g[k+1][r]);
}
}
}
int maxn=-INF;
for (int i=1;i<=n+1;i++)
{
int l=i;int r=l+n-1;
maxn=max(maxn,f[l][r]);
}
printf("%d\n",maxn);
for (int i=1;i<=n;i++)
{
int l=i; int r=l+n-1;
if (maxn==f[l][r]) printf("%d ",i);
}
}