看動畫輕鬆理解時間複雜度（一）
演算法（Algorithm）是指用來操作資料、解決程式問題的一組方法。對於同一個問題，使用不同的演算法，也許最終得到的結果是一樣的，比如排序就有前面的十大經典排序和幾種奇葩排序，雖然結果相同，但在過程中消耗的資源和時間卻會有很大的區別，比如快速排序與猴子排序：）。
那麼我們應該如何去衡量不同演算法之間的優劣呢？
主要還是從演算法所佔用的「時間」和「空間」兩個維度去考量。
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時間維度：是指執行當前演算法所消耗的時間，我們通常用「時間複雜度」來描述。
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空間維度：是指執行當前演算法需要佔用多少記憶體空間，我們通常用「空間複雜度」來描述。
本小節將從「時間」的維度進行分析。
什麼是大O
當看「時間」二字，我們肯定可以想到將該演算法程式執行一篇，通過執行的時間很容易就知道複雜度了。
這種方式可以嗎？當然可以，不過它也有很多弊端。
比如程式設計師小吳的老式電腦處理10w資料使用氣泡排序要幾秒，但讀者的iMac Pro 可能只需要0.1s，這樣的結果誤差就很大了。更何況，有的演算法執行時間要很久，根本沒辦法沒時間去完整的執行，還是比如猴子排序：）。
那有什麼方法可以嚴謹的進行演算法的時間複雜度分析呢？
有的!
「 遠古 」的程式設計師大佬們提出了通用的方法：「 大O符號表示法 」，即T(n) = O(f(n)) 。
其中 n 表示資料規模 ，O(f(n))表示執行演算法所需要執行的指令數，和f(n)成正比。
上面公式中用到的 Landau符號是由德國數論學家保羅·巴赫曼（Paul Bachmann）在其1892年的著作《解析數論》首先引入，由另一位德國數論學家艾德蒙·朗道（Edmund Landau）推廣。Landau符號的作用在於用簡單的函式來描述複雜函式行為，給出一個上或下（確）界。在計算演算法複雜度時一般只用到大O符號，Landau符號體系中的小o符號、Θ符號等等比較不常用。這裡的O，最初是用大寫希臘字母，但現在都用大寫英語字母O；小o符號也是用小寫英語字母o，Θ符號則維持大寫希臘字母Θ。
注：本文用到的演算法中的界限指的是最低的上界。
常見的時間複雜度量級
我們先從常見的時間複雜度量級進行大O的理解：
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常數階O(1)
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線性階O(n)
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平方階O(n²)
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對數階O(logn)
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線性對數階O(nlogn)
O(1)
無論程式碼執行了多少行，其他區域不會影響到操作，這個程式碼的時間複雜度都是O(1)
1void swapTwoInts(int &a, int &b){
2int temp = a;
3a = b;
4b = temp;
5}
O(n)
在下面這段程式碼，for迴圈裡面的程式碼會執行 n 遍，因此它消耗的時間是隨著 n 的變化而變化的，因此可以用O(n)來表示它的時間複雜度。
1int sum ( int n ){
2int ret = 0;
3for ( int i = 0 ; i <= n ; i ++){
4ret += i;
5}
6return ret;
7}
特別一提的是 c * O(n) 中的 c 可能小於 1 ，比如下面這段程式碼：
1void reverse ( string &s ) {
2int n = s.size();
3for (int i = 0 ; i < n/2 ; i++){
4swap ( s[i] , s[n-1-i]);
5}
6}
O(n²)
當存在雙重迴圈的時候，即把 O(n) 的程式碼再巢狀迴圈一遍，它的時間複雜度就是 O(n²) 了。
1void selectionSort(int arr[],int n){
2for(int i = 0; i < n ; i++){
3int minIndex = i;
4for (int j = i + 1; j < n ; j++ )
5if (arr[j] < arr[minIndex])
6minIndex = j;
7
8swap ( arr[i], arr[minIndex]);
9}
10}
這裡簡單的推導一下
- 當 i = 0 時，第二重迴圈需要執行 (n - 1) 次
- 當 i = 1 時，第二重迴圈需要執行 (n - 2) 次
- 。。。。。。
不難得到公式：
1(n - 1) + (n - 2) + (n - 3) + ... + 0 2= (0 + n - 1) * n / 2 3= O (n ^2)
當然並不是所有的雙重迴圈都是 O(n²)，比如下面這段輸出 30n 次Hello,五分鐘學演算法：）
的程式碼。
1void printInformation (int n ){
2for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
3for (int j = 1 ; j <= 30 ; j ++)
4cout<< "Hello,五分鐘學演算法：）"<< endl;
5}
O(logn)
1int binarySearch( int arr[], int n , int target){
2int l = 0, r = n - 1;
3while ( l <= r) {
4int mid = l + (r - l) / 2;
5if (arr[mid] == target) return mid;
6if (arr[mid] > target ) r = mid - 1;
7else l = mid + 1;
8}
9return -1;
10}
在二分查詢法的程式碼中，通過while迴圈，成 2 倍數的縮減搜尋範圍，也就是說需要經過 log2^n 次即可跳出迴圈。
同樣的還有下面兩段程式碼也是 O(logn) 級別的時間複雜度。
1// 整形轉成字串
2string intToString ( int num ){
3string s = "";
4// n 經過幾次“除以10”的操作後，等於0
5while (num ){
6s += '0' + num%10;
7num /= 10;
8}
9reverse(s)
10return s;
11}
1void hello (int n ) {
2// n 除以幾次 2 到 1
3for ( int sz = 1; sz < n ; sz += sz)
4for (int i = 1; i < n; i++)
5cout<< "Hello,五分鐘學演算法：）"<< endl;
6}
O(nlogn)
將時間複雜度為O(logn)的程式碼迴圈N遍的話，那麼它的時間複雜度就是 n * O(logn)，也就是了O(nlogn)。
1void hello (){
2for( m = 1 ; m < n ; m++){
3i = 1;
4while( i < n ){
5i = i * 2;
6}
7}
8}
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