二分搜尋——不光是查詢值

摘要： 摘要： 本文主要講述了二分搜尋演算法的基本思想和實現原理，著重講解了二分搜尋法在程式設計競賽中的一些典型應用。 基本思想 ...

摘要：

本文主要講述了二分搜尋演算法的基本思想和實現原理，著重講解了二分搜尋法在程式設計競賽中的一些典型應用。

• 基本思想
• 實現原理
• 典型應用
• 例題解析

基本思想

二分搜尋法的基本思想是通過不斷的縮小解可能存在的範圍，從而求得問題最優解的方法。比如一個直觀的問題是在一個由小到大的數列a中找到一個數ai，使得ai滿足ai>=k的同時，i最小。由於此數列是有序的，所以找到中間位置的數amid和k比較，如果k<=amid，證明k在左半區域，區間左邊界變為mid，否則在右半區域,區間右邊界變為mid。如此下來，直至區間長度小於1，結束迴圈，最小的i就是右邊界的值。

二分搜尋的優勢在於時間上的高效，每次去掉一半的搜尋區間，可以在O(logn)的時間複雜度求得最終的解。但是這種高效是建立在事先將數排好序的基礎上的。

實現原理

反覆與區間的中點進行比較，不斷的將解的範圍縮小到原來的一半，直至滿足一定的條件後結束演算法。簡單起見，直接看一道VJudge上的例題ITP2_6_C" target="_blank" rel="nofollow,noindex">Lower Bound ，具體細節參考如下程式碼：

 1 #include <cstdio>
 2 
 3 const int maxn = 100000 + 10;
 4 int a[maxn];
 5 int n, q;
 6 
 7 void query(int k) {
 8int lb = -1, ub = n;//初始化區間短點 
 9while(ub - lb > 1) {//結束條件是當區間的長度小於1的時候 
10int mid = (ub + lb) / 2;
11//通過判斷縮小區間為原來的一半 
12if(a[mid] >= k)
13ub = mid;
14else
15lb = mid;
16}
17
18printf("%d\n", ub);
19 }
20 
21 int main()
22 {
23while(scanf("%d", &n) != EOF) {
24for(int i = 0; i < n; i++) {
25scanf("%d", &a[i]);
26}
27
28scanf("%d", &q);
29while(q--) {
30int k;
31scanf("%d", &k);
32query(k);//查詢k 
33}
34}
35return 0;
36 }

當然C++中的STL以lower_bound函式的形式實現了二分搜尋，直接可以呼叫。參考程式碼如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 #include <vector>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int maxn = 100000 + 10;
 7 int n, q;
 8 vector<int> v;
 9 
10 int main () {
11while(scanf("%d", &n) != EOF) {
12v.clear();
13for(int i = 0; i < n; i++) {
14int tmp;
15scanf("%d", &tmp);
16v.push_back(tmp);
17}
18
19scanf("%d", &q);
20while(q--) {
21int k;
22scanf("%d", &k);
23
24printf("%d\n", lower_bound(v.begin(), v.end(), k) - v.begin());
25}
26}
27return 0;
28 }

在程式設計競賽中的典型應用

二分搜尋演算法除了在有序陣列中查詢值之外，在求解最優解的問題上也非常有用。比如求滿足某個條件C(x)的最小x,我們可以假定一個區間，取該區間的中點值為mid，如果滿足C(mid)，左邊界等於區間中點，即將範圍縮小在右側（最大化），如果不滿足，那麼右邊界等於區間中點，即將範圍縮小在左側。直到將區間縮小到一定的程度後，在此精度下的問題最優解就求出來了。

1.假定一個解並判斷是否可行，例如POJ 1064 Cable master

2.最大化最小值，例如POJ 2456 Aggressive cows

3.最大化平均值，例如 POJ 3111 K Best

例題解析

POJ 1064 Cable master

有N條繩子，長度分別是Li，如果從它們中切割出K條長度相同的繩子的話，每條繩子最長是多少

我們將區間設為0到INF（最大），然後嘗試區間的中點，向滿足條件的最大值逼近（迴圈100次精度大概是1e-30）。條件C(x)：Li/x的總和是否大於K，程式碼如下：（坑點是最後輸出保留兩位小數，不進位）

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3 const int maxn = 10000 + 10;
 4 const int inf = 99999999;
 5 
 6 int N, K;
 7 double L[maxn];
 8 
 9 bool C(double x) {
10int num = 0; 
11for(int i = 0; i < N; i++) {
12num += (int)(L[i] / x);
13}
14return num >= K;
15 }
16 void solve() {
17double lb = 0, ub = inf;
18for(int i = 0;i < 100; i++) {
19double mid = (ub + lb) / 2;
20if(C(mid))
21lb = mid;
22else 
23ub = mid;
24}
25
26printf("%.2f\n", floor(ub * 100) / 100);
27 }
28 int main()
29 {
30while(scanf("%d%d", &N, &K) != EOF) {
31for(int i = 0; i < N; i++) {
32scanf("%lf", &L[i]);
33}
34
35solve();
36}
37return 0;
38 } 

POJ 2456 Aggressive cows

將M頭牛放在N個牛舍裡，使得這M頭牛之間的舉例儘可能的大。

意即求解滿足C(d)的最大d。而其中的d表示M頭牛之間的舉例均不小於d。區間的結束條件就是區間長度大於等於1，關鍵是如何判斷滿足條件，其實也好判，採用貪心的方法，一次往後使用即可，如果M頭牛安排完了，滿足，否則不滿足。程式碼如下：

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int maxn = 100000 + 10;
 6 const int inf = 1000000000 + 10;
 7 int N, M;
 8 int x[maxn];
 9 
10 bool C(int d) {
11int last = 0; 
12for(int i = 1; i < M; i++) {
13int crt = last + 1;
14while(crt < N && x[crt] - x[last] < d) {
15crt++;
16}
17
18if(crt == N)return false;
19last = crt;
20}
21return true;
22 }
23 void solve() {
24sort(x, x + N);
25
26int lb = 0, ub = inf;
27while(ub - lb > 1) {
28int mid = (ub + lb) / 2;
29if(C(mid))
30lb = mid;
31else
32ub = mid;
33}
34
35printf("%d\n", lb);
36 }
37 int main()
38 {
39while(scanf("%d%d", &N, &M) != EOF) {
40for(int i = 0; i < N; i++) {
41scanf("%d", &x[i]);
42}
43
44solve();
45}
46return 0;
47 } 

POJ 3111 K Best

有n個物品的價值和重量分別是vi和mi，從中選出k件物品使得單位重量的價值最大。

C(x)=（(vi - x * wi) 從大到小排列中的前k個的和不小於0）

精度1e-30

 1 #include <cstdio>
 2 #include <algorithm>
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int maxn = 100000 + 10;
 6 const double inf = 0x3f3f3f3f;
 7 const double EPS = 1.0e-6;
 8 
 9 int N, K;
10 int v[maxn], w[maxn];
11 struct Node {
12double val;
13int id;
14 } y[maxn];
15 
16 bool cmp(struct Node a, struct Node b) {
17return a.val > b.val;
18 }
19 bool C(double x) {
20for(int i = 0; i < N; i++) {
21y[i].id = i + 1;
22y[i].val = (v[i] - x * w[i]);
23}
24
25sort(y, y + N, cmp);
26double sum = 0;
27for(int i = 0; i < K; i++) {
28sum += y[i].val;
29}
30return sum >= 0;
31 }
32 void solve() {
33double lb = 0, ub = inf;
34
35while(ub - lb > EPS) {
36double mid = (ub + lb) / 2;
37if(C(mid))
38lb = mid;
39else
40ub = mid;
41}
42
43for(int i = 0; i < K - 1; i++) {
44printf("%d ", y[i].id);
45}
46printf("%d ", y[K - 1].id);
47 }
48 
49 int main()
50 {
51while(scanf("%d%d", &N, &K) != EOF) {
52for(int i = 0; i < N; i++) {
53scanf("%d%d", &v[i], &w[i]);
54}
55
56solve();
57}
58return 0;
59 }

至此，二分搜尋演算法就講完了，二分的思想就是一次去一半，尋找滿足條件的最優，在解決最優解問題的時候要找好結束條件和滿足的條件。演算法不難，關鍵是思考問題和實現演算法的過程。