數論進入第三天，進制問題是常用提醒，是數論的一個重要知識點，常考！

題面：http://www.cnblogs.com/ljc20020730/p/6935255.html

1.K進制數(Kbased.pas/c/cpp)

首先明確數據範圍：

【數據規模和約定】

對於40%的數據，a的長度不超過5。

對於100%的數據，a的長度不超過100000。

對於40%暴力枚舉不多說，上代碼：

var t,i,k,tt:longint;
    a:qword;
    s:string;
function pow(x,n:qword):qword;
begin
  if n=0 then exit(1);
  pow:=pow(x,n>>1
 
);
  pow:=pow*pow;
  if n mod 2=1 then pow:=(pow*x);
end;
function f(s:string):qword;
var tx,i:longint;
    w:array[0..5]of longint;
    x:qword;
begin
 fillchar(w,sizeof(w),0);
 w[0]:=length(s);
 for i:=1 to length(s) do begin
  if (s[i]<=‘9‘)and(s[i]>=‘0‘) then
  w[i]:=ord(s[i])-ord(‘0‘)
  else w[i]:=ord(s[i])-ord(‘
 
A‘)+10;
 end;
 x:=0;
 tx:=w[0]-1;
 for i:=1 to w[0] do begin
 x:=x+pow(k,tx)*w[i]; dec(tx); end;
 exit(x);
end;
begin
assign(input,‘kbased.in‘);
assign(output,‘kbased.out‘);
reset(input);
rewrite(output);
 readln(t);
 for i:=1 to t do begin
  readln(k);
  readln(s);
  a:=f(s);
  if a mod (k-1)=0 then writeln(‘
 
yes‘)
  else writeln(‘no‘);
 end;
end.

40分非常妥！
但是：對於100%的數據，a的長度不超過100000。
怎麽處理？
思考一個問題：每一個k進制數可以表示為什麽？

任何一個k進制正整數都可以寫成:a₀*k⁰+a₁*k¹+…+a_n*kⁿ

這是初賽的內容吧，相信來看題解的人這點心中自然明確。

對於幾乎要達到線性的時間復雜度來說，必須要從Kⁿ這裏下手！

那麽來看一個非常簡單的例子：

∵k⁰=1，∴ k⁰ mod (k-1) = 1；

∵k¹=k-1+1，∴ k¹ mod (k-1) = 1；

∵k² = k*k，∴ k² mod (k-1) = 1；

……

●所以推出：kⁿ = k^n-1*k，kⁿ mod (k-1) = 1

沒問題吧？

●任何一個k進制正整數都可以寫成:a₀*k⁰+a₁*k¹+…+a_n*kⁿ

又因為所有的k^?模k-1都是1（？是一個常數）

所以任何一個k進制正整數，模k-1的結果，都等於它各個數位上數字之和模k-1。

任何一個k進制正整數都可以寫成:a₀*k⁰+a₁*k¹+…+a_n*kⁿ

這是初賽的內容吧，相信來看題解的人這點心中自然明確。

對於幾乎要達到線性的時間復雜度來說，必須要從Kⁿ這裏下手！

那麽來看一個非常簡單的例子：

∵k⁰=1，∴ k⁰ mod (k-1) = 1；

∵k¹=k-1+1，∴ k¹ mod (k-1) = 1；

∵k² = k*k，∴ k² mod (k-1) = 1；

……

●所以推出：kⁿ = k^n-1*k，kⁿ mod (k-1) = 1

沒問題吧？

●任何一個k進制正整數都可以寫成:a₀*k⁰+a₁*k¹+…+a_n*kⁿ

又因為所有的k^?模k-1都是1（？是一個常數）

所以任何一個k進制正整數，模k-1的結果，都等於它各個數位上數字之和模k-1。

【程序】

var  w:array[0..100000]of longint;
     t,i,k:longint;
     s:ansistring;
     a:qword;
function f(s:ansistring):qword;
var i:longint;
    ans:qword;
begin
 fillchar(w,sizeof(w),0);
 w[0]:=length(s);
 ans:=0;
 for i:=1 to length(s) do begin
  if (s[i]<=‘9‘)and(s[i]>=‘0‘) then
  w[i]:=ord(s[i])-ord(‘0‘)
  else w[i]:=ord(s[i])-ord(‘A‘)+10;
  inc(ans,w[i]);
 end;
 exit(ans);
end;
begin
assign(input,‘kbased.in‘);
assign(output,‘kbased.out‘);
reset(input);
rewrite(output);
 readln(t);
 for i:=1 to t do begin
  readln(k);
  readln(s);
  fillchar(w,sizeof(w),0);
  a:=f(s);
  if a mod (k-1)=0 then writeln(‘yes‘)
  else writeln(‘no‘);
 end;
 close(input);
 close(output);
end.

2.C and.pas/c/cpp

暴力出奇跡：

20%：N<=1000

另外20%：只有0和1

不解釋O(n^2)；

非暴力出滿分：

【樣例分析】

And去運算：0 and 0=0 0 and 1=0 1 and 0=0 1 and 1=1

另外幾個數字！最大數為1 and 1=1。

舉例：4個數11 6 10 8

1011

0110

1010

1000

看出來了吧？

用1 2 4得出的數最大！

所以,可以用貪心來解決：為使兩數的and最大，故從高位開始（從左向右a[]<=10⁹:31位到0位）枚舉，看第1列的1個數有否大於等於2個；若找到，則將其它第1列為0的設為不可用(vis[MAX_N])。繼續找後面位也同樣處理。

取第i位是否為1：a[j]>>i mod 2=1。同理第i位是否為1: a[j]>>i mod 2=0;

答案為ans:=ans+(1<<i);

var n,i,j,ans,cnt:longint;
    a:array[1..100000]of longint;
    u:array[1..100000]of boolean;
begin
assign(input,‘and.in‘);
assign(output,‘and.out‘);
reset(input);
rewrite(output);
 readln(n);
 fillchar(u,sizeof(u),true);
 for i:=1 to n do read(a[i]);
 for i:=31 downto 0 do begin
  cnt:=0;
  for j:=1 to n do begin
  if (a[j]>>i mod 2=1)and(u[j]) then inc(cnt);
  end;
  if cnt>=2 then begin
    ans:=ans+(1<<i);
    for j:=1 to n do
     if a[j]>>i mod 2=0 then u[j]:=false;
  end;
 end;
 writeln(ans);
 close(input);
 close(output);
end.

【數論Day3】進制問題 題解