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二叉搜索樹的順序性

二叉搜索樹具有一定的順序性，即 使用二叉搜索樹可以回答很多

元素之間的和順序相關的問題，如下：

（1）minimum 和 maximum

通過二叉搜索樹可以非常容易地找到一組數據中最小的元素 minimum

和最大的元素 maximum

（2）predecessor 和 successor

通過二叉搜索樹可以非常容易地找到一個元素的前驅 predecessor

和後繼 successor

（3）floor 和 ceil

通過二叉搜索樹還可以找到一個元素的 floor 相應的值

和 ceil 相應的值

floor 和 ceil 與 predecessor 和 successor 的最大的一個區別就是：

要想找到一個元素的前驅和後繼，首先要保證這個元素真的存在

如果要找一個元素的 floor 和 ceil：

1）如果該元素存在，那麽該元素的 floor 和 ceil 就是該元素本身

2）如果該元素不存在，那麽該元素的 floor 和 ceil 也是存在的，

分別是最後一個比該元素小的值和第一個比該元素大的值，即

接近的兩個值。當然，也有可能該元素並沒有 floor 或 ceil

（4）rank 和 select

通過二叉搜索樹還可以找到一個元素的排名 rank

和找到某排名（如：第 100 名）的元素 select

但遺憾的是一般的二叉搜索樹並不能回答這兩個問題，可做如下改動：

對二叉搜索樹的每一個節點多添加一個屬性（域），該屬性用於存儲

以當前節點為根的二叉搜索樹一共有幾個節點

之後就可以利用二叉搜索樹的性質：每個節點的鍵值都大於左孩子

和 每個節點的鍵值都小於右孩子，來實現

註意：在給節點 Node 添加新屬性後，編寫 rank 和 select 這兩個

函數並不難，難的是要在之前實現的 insert 和 remove 這兩個函數

中同時維護新屬性，使得當用戶調用 rank 和 select 這兩個函數時，

能夠得到正確的結果

另外：

一般的二叉搜索樹，是不支持整棵樹中存在重復元素的，但在

有些情況下，需要二叉搜索樹支持重復元素，該怎麽做呢？

一個最簡單的方法，就是直接讓這棵樹可以存在重復元素，即

把一個節點的左孩子，定義成是小於等於這個節點的元素，右

孩子是大於這個節點的元素

不過當存在大量重復元素時，這樣做不夠節省空間

為此，依然可以通過更改節點 Node 的結構來解決，具體如下：

對二叉搜索樹的每一個節點多添加一個屬性 count，該屬性用於存儲

當前節點所代表的元素在二叉搜索樹中的個數

此時，構建出這樣一棵二叉搜索樹很容易，不過當每個節點都多出一個

count 屬性後，相應的 insert 和 remove，以及 rank 和 select 等等都

要發生改變，以維護 count 屬性

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