problem：

Implement pow(x, n).

thinking：

（1）最簡單想到的是直觀上的數學冪函數求法，測試通過。算法時間復雜度為O（n）

（2）依照標簽提示，使用二分搜索法。

pow(x,n) = pow(x,n-n/2)*pow(x,n/2),每次對n的規模縮半,註意對n的奇偶進行討論,算法時間復雜度為log（n）

（3）除了上述方法，這裏還提到了一種十分巧妙而且高速的方法，原文描寫敘述例如以下：

Consider the binary representation of n. For example, if it is "10001011", then x^n = x^(1+2+8+128) = x^1 * x^2 * x^8 * x^128. Thus, we don‘t want to loop n times to calculate x^n. To speed up, we loop through each bit, if the i-th bit is 1, then we add x^(1 << i) to the result. Since (1 << i) is a power of 2, x^(1<<(i+1)) = square(x^(1<<i)). The loop executes for a maximum of log(n) times.

該方法通過掃描n的二進制表示形式裏不同位置上的1，來計算x的冪次，最壞為O（n），但平均復雜度非常好

code：

（1）遞歸法：accepted

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        double ret=1.0;
        if(x==1.0 )
            return 1.0;
        if(x==-1.0)
        {
            if(n%2==0)
                return 1.0;
            else
                return -1.0;
        }
        if(n<0)
            return 1.0/pow(x,-n);
        while(n)
        {
            if(ret==0) //防止執行超時
                return 0;
            ret*=x;
            n--;
        }
        return ret;
    }
};

（2）二分法：accepted

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        //double ret=1.0;
        if(x==1.0 )
            return 1.0;
        if(x==-1.0)
        {
            if(n%2==0)
                return 1.0;
            else
                return -1.0;
        }
        if(n==0)
            return 1.0;
        if(n<0)
            return 1.0/pow(x,-n);
        double half=pow(x,n>>1);
        if(n%2==0)
            return half*half;  
        else
            return x*half*half;
    }
};

為了正確計算x的n次冪，還須要考慮到下面一些情況：

1) x取值為0時。0的正數次冪是1，而負數次冪是沒有意義的；推斷x是否等於0不能直接用“==”。

2) 對於n取值INT_MIN時。-n並非INT_MAX。這時須要格外小心。

3) 盡量使用移位運算來取代除法運算，加快算法運行的速度。

class Solution {
public:
    double pow(double x, int n) {
        // Start typing your C/C++ solution below
        // DO NOT write int main() function
        if(n<0)
		{
			if(n==INT_MIN)
				return 1.0 / (pow(x,INT_MAX)*x);
			else
				return 1.0 / pow(x,-n);
		}
        if(n==0)
            return 1.0;
		double ans = 1.0 ;
		for(;n>0; x *= x, n>>=1)
		{
			if(n&1>0)
				ans *= x;
		}
		return ans;
    }
};

leetcode || 50、Pow(x, n)