傅裏葉變換
傅裏葉變換是一種信號分析方法，讓我們對信號的構成和特點進行深入的、定量的研究。把信號通過頻譜的方式(包括幅值譜、相位譜和功率譜)進行準確的、定量的描述。
傅裏葉變換的核心在於任何信號都可以表示成正弦信號的疊加。
為什麽傅裏葉變換要把信號分解為正弦波的組合，而不是方波或三角波?
正弦波有個其它任何波形(恒定的直流波形除外)所不具備的特點：正弦波輸入至任何線性系統，出來的還是正弦波，改變的僅僅是幅值和相位，即：正弦波輸入至線性系統，不會產生新的頻率成分(非線性系統如變頻器，就會產生新的頻率成分，稱為諧波)。用單位幅值的不同頻率的正弦波輸入至某線性系統，記錄其輸出正弦波的幅值和頻率的關系，就得到該系統的幅頻特性，記錄輸出正弦波的相位和頻率的關系，就得到該系統的相頻特性。
線性系統具備一個特點，多個正弦波疊加後輸入至一個系統，輸出是所有正弦波獨立輸入時對應輸出的疊加。
也就是說，我們只要研究正弦波的輸入輸出關系，就可以知道該系統對任意輸入信號的響應。
如何求傅裏葉變換?
連續傅裏葉變換公式如下：
傅裏葉的偉大之處不在於如何進行傅裏葉變換，而是在於給出了“任何連續周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成”這一偉大的論斷。
正弦函數有一個特點，叫做正交性，所謂正交性，是指任意兩個不同頻率的正弦波的乘積，在兩者的公共周期內的積分等於零。如下：
這是一個非常有用的特性，我們可以利用這個特性設計一個如下的檢波器(下稱檢波器A)：
檢波器A由一個乘法器和一個積分器構成，乘法器的一個輸入為已知頻率f的單位幅值正弦波(下稱標準正弦信號f)，另一個輸入為待變換的信號。檢波器A的輸出只與待變換信號中的頻率為f的正弦分量的幅值和相位有關。
待變換信號可能包含頻率為f的分量(下稱f分量)，也可能不包含f分量，總之，可能包含各種頻率分量。一句話，待變換信號是未知的，並且可能很復雜!
因為其它頻率分量與標準正弦信號f的乘積的積分都等於零，檢波器A可以當它們不存在!經過檢波器A，輸出就只剩下與f分量有關的一個量，這個量等於待變換信號中f分量與標準正弦信號f的乘積的積分。
很容易得到的結論是：
如果輸出不等於零，就說明輸入信號包含f分量!
這個輸出是否就是f分量呢?
答案：不一定!
正弦波還有下述的特性：
相同頻率的正弦波，當相位差為90°時(正交)，在一個周期內的乘積的積分值等於零;當相位相同時，積分值達到最大，等於兩者的有效值的乘積，當相位相反時，積分值達到最小，等於兩者的有效值的乘積取反。
我們知道標準正弦信號f的初始相位為零，但是，我們不知道f分量的初始相位!如果f分量與標準正弦信號f的相位剛好差90°(或270°)，檢波器A輸出也等於零!為此，我們再設計一個檢波器B：
檢波器B與檢波器A的不同之處在於檢波器B用一個標準余弦信號f(與標準正弦信號A相位差90°)替代濾波器A中的標準正弦信號f。如果待變換信號中包含f分量，檢波器A和檢波器B至少有一個輸出不等於零。
利用三角函數的基礎知識可以證明，不論f分量的初始相位如何，檢波器A和檢波器B輸出信號的幅值的方和根就等於f分量的幅值;而檢波器B和檢波器A的幅值的比值等於f分量初始相位的正切，如此如此……即可求出f分量的相位。
我們再把標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率替換成我們關心的任意頻率，就可以得到輸入信號的各種頻率成分。如果知道輸入信號的頻率，把這個頻率作為基波頻率f0，用f0、2f0、3f0依次替代標準正弦信號f和標準余弦信號f的頻率，就可以得到輸入信號的基波、2次諧波和3次諧波。
這就是傅裏葉變換!
傅裏葉級數
傅裏葉變換