繼續補坑..

第三天主要是網絡流

首先我們先了解一下網絡流的最基本的算法:dinic

這個算法的主要做法就是這樣的：

在建好的網絡流的圖上從源點開始向匯點跑一遍BFS，然後如果一條邊的流量不為0，那麽就往下標號，

每一個點的level都是上一個點的level+1

然後在跑一遍DFS，如果發現邊的兩個點的level差值為1（終點比起點的level大），那麽就走這條邊。

那麽我們首先要了解一下如何建邊

網絡流的最基本概念就是：可以反悔

就是說假如說我們有更好的方案，那麽我們可以把原來流掉的流量再流回來。

如何做到呢？就是對於每一條邊連一條方向相反，流量為0的邊。

下面舉圖說明：

這是我們網絡流的圖，那麽假設我們一開始走的是中間那條邊，那麽就是這樣，我們得到的最大流是3

然後接下來就是我們增廣的過程啦，因為我們走過的邊的反向邊都加上了流量，我們首先先得到一個殘量網絡

然後我們在又一遍bfs後我們找到這樣一條路：

所以我們最大流+3，是不是很神奇，所以答案就是6啦；

這個過程其實就是把剛才的流量反悔，把下面的這個3的流量讓給下面的一條路，自己走上面的一條路。就是。上圖：

所以這樣就是網絡流的基本算法啦。

下面貼下代碼

bool bfs(){
    int h=1,t=1;
    que[h]=S;
    level[S]=1;
    while(h<=t){
        int tmp=que[h++];
        for(int
 
 i=head[tmp];i;i=g[i].next){
            if(level[g[i].to]==-1&&g[i].w)
            level[g[i].to]=level[tmp]+1,que[++t]=g[i].to;
        }
    }
    return level[T]!=-1;
}
int dfs(int u,int v,int flow){
    if(u==v)return flow;
    int used=0;
    for(int i=head[u];i;i=g[i].next){
        if
 
(level[g[i].to]==level[u]+1){
            int qaq=dfs(g[i].to,v,min(g[i].w,flow-used));
            if(qaq){
                g[i].w-=qaq;g[i^1].w+=qaq;used+=qaq;
                if(used==flow) return flow;
            }
        }
    }
    return used;
}
int dinic(int u,int v){
    memset(level,-1,sizeof(level));
    int tot=0;
    while(bfs()){
        tot+=dfs(S,T,inf);
        memset(level,-1,sizeof(level));
    }
    return tot;
}

————————————————我是分割線————————————————

那麽我們接下來看一看最小割。

最小割的定義就是對於一個網絡流的圖，刪掉一些邊，使得從源點沒有路徑可以到達匯點，而花費（刪掉一條邊的花費就是該邊的流量）的總和的最小值就是最小割。

比如下圖中紅色的邊就是最小割

那麽我們會驚奇的發現最小割就是最大流。。（至於理論我就不證明了）

——————————————我是分割線——————————————

而對於網絡流這一塊來說，難的不是算法本身，而是建圖這一環節：

本帖著重講解的是最小割的建圖：

對於求最小割，我們一般都是要求總收益最大的一類題目，題目一般會告訴你有很多種收益，那麽我們如何根據題目建圖呢？

首先我們要在腦海中有一個概念，就是說我們假如說刪掉一條邊，意味著我們損失了一項收益，假如說我們的題目告訴我們一個項目有兩種選項A,B，那麽我們假設一個點割到S（表示這個點所對應的項目與T相連的邊被割斷，之所以這麽說是因為我們有可能把一個項目拆成多個點來建圖）代表的是他選擇A收益，那麽就說明放棄了B收益，所以B收益就是損失的一部分。

所以對於上述類型的題目，我們從S到項目連一條流量為Ai的邊，從項目向匯點連一條流量為Bi的邊，然後跑最大流。然後我們把所有的收益加起來-最大流（總損失）就是我們的最大收益啦！

那麽還有一種題目是如果我們同時選擇幾種項目才能獲得一項收益，對於這種圖我們怎麽辦呢？

對於這種圖，我們需要建一個輔助節點，假設我們知道多個節點都割到S才能獲得這項收益，那麽我們就從這些節點向輔助節點連一條流量為inf的邊（表示這些邊不能被割斷），然後我們再從輔助節點向T連一條流量為收益大小的邊，具體上圖：

圖中的兩個點如果只要有一個點割到T，那麽輔助節點到T的邊就必須被割斷（損失該項收益）

而這種輔助節點建在哪一邊取決於滿足條件是多個點割到S還是割到T，如果是割到S，那麽輔助節點在T一側，否則在S一側。本類型最經典的題目就是文理分科（bzoj_3894)

下面貼上該題代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define inf 0x3f3f3f3f
#define MN 30005
#define M 300005
#ifndef Debug 
    #define getchar() (SS==TT&&(TT=(SS=BB)+fread(BB,1,1<<15,stdin),TT==SS)?EOF:*SS++) 
    char BB[1<<15],*SS=BB,*TT=BB; 
#endif 
using namespace std;
inline int read(){ 
    register int x; register  bool f; register char c; 
    for (f=0; (c=getchar())<‘0‘||c>‘9‘;); 
    for (x=c-‘0‘; (c=getchar())>=‘0‘&&c<=‘9‘; x=(x<<3)+(x<<1)+c-‘0‘); 
    return f?-x:x; 
} 
int n,m,sum,S,T,num=1;
int head[MN],level[MN],que[MN];
struct edge{
    int to,next,w;
}g[M];
bool bfs(){
    memset(level,-1,sizeof(level));
    int h=1,t=1;
    que[h]=S;level[S]=1;
    while(h<=t){
        int tmp=que[h++];
        for(int i=head[tmp];i;i=g[i].next)
            if(level[g[i].to]==-1&&g[i].w)
            level[g[i].to]=level[tmp]+1,que[++t]=g[i].to;
    }
    return level[T]!=-1;
}
int dfs(int u,int flow){
    if(u==T)return flow;
    int used=0;
    for(int i=head[u];i;i=g[i].next)
        if(level[g[i].to]==level[u]+1){
            int qaq=dfs(g[i].to,min(g[i].w,flow-used));
            if(qaq){
                g[i].w-=qaq;g[i^1].w+=qaq;used+=qaq;
                if(used==flow)return flow;
            }
        }
    return used;
}
int dinic(){
    int ttf=0;
    while(bfs())ttf+=dfs(S,inf);
    return ttf;
}
void ins(int u,int v,int w){g[++num].next=head[u];head[u]=num;g[num].to=v;g[num].w=w;}
void insw(int u,int v,int w){ins(u,v,w);ins(v,u,0);}
void add(int x,int u){
    if(u==S){
        insw(n+x,x,inf);
        if(x>m)insw(n+x,x-m,inf);
        if(x<=n-m)insw(n+x,x+m,inf);
        if(x%m!=0)insw(n+x,x+1,inf);
        if(x%m!=1)insw(n+x,x-1,inf);
    }
    else{
        insw(x,2*n+x,inf);
        if(x>m)insw(x-m,2*n+x,inf);
        if(x<=n-m)insw(x+m,2*n+x,inf);
        if(x%m!=0)insw(x+1,2*n+x,inf);
        if(x%m!=1)insw(x-1,2*n+x,inf);
    }
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);S=3*n*m+1;T=S+1;n*=m;
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x),insw(S,i,x),sum+=x;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x),insw(i,T,x),sum+=x;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x),insw(S,n+i,x),add(i,S),sum+=x;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x),insw(2*n+i,T,x),add(i,T),sum+=x;
    printf("%d\n",sum-dinic());
}

註：本題getchar快讀在C++中無法運行，如要調試請刪除ifndef~endif這一段，出事本人概不負責QAQ

培訓補坑（day3:網絡流&最小割）