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2038: [2009國家集訓隊]小Z的襪子(hose)

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Description

作為一個生活散漫的人，小Z每天早上都要耗費很久從一堆五顏六色的襪子中找出一雙來穿。終於有一天，小Z再也無法忍受這惱人的找襪子過程，於是他決定聽天由命……
具體來說，小Z把這N只襪子從1到N編號，然後從編號L到R(L 盡管小Z並不在意兩只襪子是不是完整的一雙，甚至不在意兩只襪子是否一左一右，他卻很在意襪子的顏色，畢竟穿兩只不同色的襪子會很尷尬。
你的任務便是告訴小Z，他有多大的概率抽到兩只顏色相同的襪子。當然，小Z希望這個概率盡量高，所以他可能會詢問多個(L,R)以方便自己選擇。

Input

輸入文件第一行包含兩個正整數N和M。N為襪子的數量，M為小Z所提的詢問的數量。接下來一行包含N個正整數Ci，其中Ci表示第i只襪子的顏色，相同的顏色用相同的數字表示。再接下來M行，每行兩個正整數L，R表示一個詢問。

Output

包含M行，對於每個詢問在一行中輸出分數A/B表示從該詢問的區間[L,R]中隨機抽出兩只襪子顏色相同的概率。若該概率為0則輸出0/1，否則輸出的A/B必須為最簡分數。（詳見樣例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【樣例解釋】
詢問1：共C(5,2)=10種可能，其中抽出兩個2有1種可能，抽出兩個3有3種可能，概率為(1+3)/10=4/10=2/5。
詢問2：共C(3,2)=3種可能，無法抽到顏色相同的襪子，概率為0/3=0/1。
詢問3：共C(3,2)=3種可能，均為抽出兩個3，概率為3/3=1/1。
註：上述C(a, b)表示組合數，組合數C(a, b)等價於在a個不同的物品中選取b個的選取方案數。
【數據規模和約定】
30%的數據中 N,M ≤ 5000；
60%的數據中 N,M ≤ 25000；
100%的數據中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

HINT

Source

版權所有者：莫濤

題解：

莫隊算法，其實就是當我們知道了[L, R] 的答案的時候，而且我們可以通過O(1) 查詢到 [L-1, R] [L+1, R] [L, R-1] [L, R+1] 的時候，並且可以支持離線的時候。我們就可以改變題目中的詢問次序，從而是O(n²) 優化到O(n^1.5) 。 先將查詢分成√n 塊， 每一塊就有 √n 個。將詢問的排序，按照左端點所在的大塊為第一關鍵字，有端點為第二關鍵字。然後按照這個順序暴力解出答案。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3
 
 #include <cstring>
 4 #include <string>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <cmath>
 7 #include <vector>
 8 #include <queue>
 9 #include <stack>
10 #include <set>
11 using namespace std;
12 typedef long long LL;
13 #define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
14 #define pb push_back
15 #define mp make_pair
16 const int INF = 0x7fffffff;
17 const int inf = 0x3f3f3f3f;
18 const int mod = 1e9+7;
19 const int maxn = 50000 + 10;
20 LL a[maxn], ans_fenzi[maxn], ans_fenmu[maxn], num[maxn], k;
21 struct node {
22     LL l, r, id;
23 } q[maxn];
24 bool cmp(node x1, node x2) {
25     if(x1.l/k != x2.l/k) {
26         return x1.l/k < x2.l/k;
27     } else
28         return x1.r < x2.r;
29 }
30 LL gcd(LL a, LL b) {
31     return b==0?a:gcd(b, a%b);
32 }
33 void init() {
34     ms(num, 0);
35     ms(a, 0);
36 }
37 void solve() {
38     LL n, m;
39     scanf("%lld%lld", &n, &m);
40     for(LL i = 1; i<=n; i++) scanf("%lld", &a[i]);
41     for(LL i = 0; i<m; i++) {
42         scanf("%lld%lld", &q[i].l,&q[i].r);
43         q[i].id = i;
44     }
45     k = (LL)sqrt(n);
46     sort(q, q+m, cmp);
47     LL L = 1, R = 0;
48     LL temp = 0;
49     for(LL i = 0; i<m; i++) {
50         while (R < q[i].r) {
51             R++;
52             temp -= (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
53             num[a[R]]++;
54             temp += (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
55         }
56         while (R > q[i].r) {
57             temp -= (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
58             num[a[R]]--;
59             temp += (long long)num[a[R]] * num[a[R]];
60             R--;
61         }
62         while (L < q[i].l) {
63             temp -= (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
64             num[a[L]]--;
65             temp += (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
66             L++;
67         }
68         while (L > q[i].l) {
69             L--;
70             temp -= (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
71             num[a[L]]++;
72             temp += (long long)num[a[L]] * num[a[L]];
73         }
74         LL fenzi = temp -(R-L+1);
75         LL fenmu = (R-L+1)*(R-L);
76         LL GCD = gcd(fenzi, fenmu);
77         ans_fenzi[q[i].id] = fenzi / GCD;
78         ans_fenmu[q[i].id] = fenmu / GCD;
79     }
80     for(LL i = 0; i<m; i++) {
81         printf("%lld/%lld\n", ans_fenzi[i], ans_fenmu[i]);
82     }
83 }
84 int main() {
85 #ifdef LOCAL
86     freopen("input.txt", "r", stdin);
87 //        freopen("output.txt", "w", stdout);
88 #endif
89     init();
90     solve();
91     return 0;
92 }

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