【BZOJ4373】算術天才⑨與等差數列

Description

算術天才⑨非常喜歡和等差數列玩耍。
有一天，他給了你一個長度為n的序列，其中第i個數為a[i]。
他想考考你，每次他會給出詢問l,r,k，問區間[l,r]內的數從小到大排序後能否形成公差為k的等差數列。
當然，他還會不斷修改其中的某一項。
為了不被他鄙視，你必須要快速並正確地回答完所有問題。
註意：只有一個數的數列也是等差數列。

Input

第一行包含兩個正整數n,m(1<=n,m<=300000)，分別表示序列的長度和操作的次數。
第二行包含n個整數，依次表示序列中的每個數a[i](0<=a[i]<=10^9)。

Output

輸出若幹行，對於每個詢問，如果可以形成等差數列，那麽輸出Yes，否則輸出No。

Sample Input

Sample Output

題解：最近看到這道題熱度飆升，於是也來刷一發~

對於給定的一段區間，我們如何判斷排序後，它能否形成等差數列呢？換句話說，我們希望找出一些限制，使得如果一個區間是等差數列，當且僅當它滿足了這些限制。可行的限制組合不唯一，這裏只說我的方法。

1.區間的max-min=(r-l)*k
2.區間內任意兩數的差%k=0
3.區間內無重復的數

第一個限制直接上線段樹搞定。對於第二個限制，我們可以將原數組差分，然後限制就變成了差分數組中區間內的所有數%k=0，也就是區間內所有數的gcd%k=0，用線段樹求區間gcd即可。

第三個限制不太好搞，但是我們只需要維護一個pre數組，pre[i]表示上一個和v[i]相等的位置。在修改時我們可以用set來維護pre數組。然後限制就變成了區間中所有數的pre都<l，也就是區間pre的最大值<l，還是用線段樹。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <set>
#include <utility>
#define MP(A,B) make_pair(A,B)
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
using namespace std;
const int maxn=300010;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
int n,m,sum;
int sp[maxn<<2],sm[maxn<<2],sn[maxn<<2],sg[maxn<<2],v[maxn],lp[maxn];
set<pii> s;
set<pii>::iterator it;
int rd()
{
	int ret=0,f=1;	char gc=getchar();
	while(gc<‘0‘||gc>‘9‘)	{if(gc==‘-‘)f=-f;	gc=getchar();}
	while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘)	ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar();
	return ret*f;
}
int gcd(int a,int b)
{
	return (!b)?a:gcd(b,a%b);
}
void pushup(int x)
{
	sm[x]=max(sm[lson],sm[rson]),sn[x]=min(sn[lson],sn[rson]),sg[x]=gcd(sg[lson],sg[rson]),sp[x]=max(sp[lson],sp[rson]);
}
void build(int l,int r,int x)
{
	if(l==r)
	{
		sm[x]=sn[x]=v[l],sp[x]=lp[l],sg[x]=v[l]-v[l-1];
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	build(l,mid,lson),build(mid+1,r,rson);
	pushup(x);
}
void updata(int l,int r,int x,int a)
{
	if(l==r)
	{
		sm[x]=sn[x]=v[l],sp[x]=lp[l],sg[x]=v[l]-v[l-1];
		return ;
	}
	int mid=l+r>>1;
	if(a<=mid)	updata(l,mid,lson,a);
	else	updata(mid+1,r,rson,a);
	pushup(x);
}
int qm(int l,int r,int x,int a,int b)
{
	if(a<=l&&r<=b)	return sm[x];
	int mid=l+r>>1;
	if(b<=mid)	return qm(l,mid,lson,a,b);
	if(a>mid)	return qm(mid+1,r,rson,a,b);
	return max(qm(l,mid,lson,a,b),qm(mid+1,r,rson,a,b));
}
int qn(int l,int r,int x,int a,int b)
{
	if(a<=l&&r<=b)	return sn[x];
	int mid=l+r>>1;
	if(b<=mid)	return qn(l,mid,lson,a,b);
	if(a>mid)	return qn(mid+1,r,rson,a,b);
	return min(qn(l,mid,lson,a,b),qn(mid+1,r,rson,a,b));
}
int qp(int l,int r,int x,int a,int b)
{
	if(a<=l&&r<=b)	return sp[x];
	int mid=l+r>>1;
	if(b<=mid)	return qp(l,mid,lson,a,b);
	if(a>mid)	return qp(mid+1,r,rson,a,b);
	return max(qp(l,mid,lson,a,b),qp(mid+1,r,rson,a,b));
}
int qg(int l,int r,int x,int a,int b)
{
	if(a<=l&&r<=b)	return sg[x];
	int mid=l+r>>1;
	if(b<=mid)	return qg(l,mid,lson,a,b);
	if(a>mid)	return qg(mid+1,r,rson,a,b);
	return gcd(qg(l,mid,lson,a,b),qg(mid+1,r,rson,a,b));
}
int main()
{
	n=rd(),m=rd();
	int i,a,b,c;
	pii tmp;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		v[i]=rd(),tmp=MP(v[i],i),it=s.upper_bound(tmp);
		if(it!=s.begin()&&(*(--it)).first==v[i])	lp[i]=(*it).second;
		s.insert(tmp);
	}
	build(1,n,1);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		if(rd()==1)
		{
			a=rd()^sum,b=rd()^sum,tmp=MP(v[a],a),s.erase(tmp),it=s.upper_bound(tmp);
			if(it!=s.end()&&(*it).first==v[a])	lp[(*it).second]=lp[a],updata(1,n,1,(*it).second);
			v[a]=b,tmp=MP(v[a],a),it=s.upper_bound(tmp);
			if(it!=s.end()&&(*it).first==v[a])	lp[(*it).second]=a,updata(1,n,1,(*it).second);
			if(it!=s.begin()&&(*(--it)).first==v[a])	lp[a]=(*it).second;
			else	lp[a]=0;
			s.insert(tmp),updata(1,n,1,a);
			if(a<n)	updata(1,n,1,a+1);
		}
		else
		{
			a=rd()^sum,b=rd()^sum,c=rd()^sum;
			ll gm=qm(1,n,1,a,b),gn=qn(1,n,1,a,b);
			if(a==b||(gm==gn&&!c)||(gm-gn==(ll)(b-a)*c&&qp(1,n,1,a,b)<a&&qg(1,n,1,a+1,b)%c==0))
				sum++,printf("Yes\n");
			else	printf("No\n");
		}
	}
	return 0;
}
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