題意：給出n個數$a[i]$，每個數可以變成不大於它的數，現問所有數的gcd大於1的方案數。其中$(n,a[i]<=1e5)$

思路：鑒於a[i]不大，可以想到枚舉gcd的值。考慮一個$gcd(a_1,a_2,a_3…a_n)=d$，顯然每個$a_i$的倍數都滿足，有$\frac{a_i}{d}$種方案

那麽一個d對答案的貢獻為\[\prod_{i=1}^{min(a)}{\lfloor\frac{a_i}{d}\rfloor} \]

但是所有的d計入會有重復情況，考慮容斥，對d進行素數分解，發現重復情況就是d的互異素數個數為偶數的，或是素數的指數大於1的。

然後會發現這情況的系數和莫比烏斯函數定義很像$(-f(d)) = \mu(d)=(-1)^k, d={p_1}{p_2}…{p_k}$，$\mu(d) = 0,d為非1整數$

現在我們就要考慮如何快速求得一個d的貢獻了，類似篩法的思想，由於a[i]不大，預處理出前綴和，sum[i]代表小於i的數的個數，將按方案數大小分塊，累加$cnt^{sum[(cnt+1)*d-1]-sum[cnt*d-1]}$得到結果，乘上容斥系數即可。

\[ ans = \sum_{d=1}^{min(a)}{(-\mu(d)) \sum_{j=1}^{\lfloor \frac{min(a)}{d} \rfloor}{j^{\sum_{i=1}^{n}{[\lfloor \frac{a_i}{d} \rfloor = j]}} }} \]

也就是把上式j的指數前綴和優化了一下。

分塊優化也是很常見的，和以前的數論組合題已經算簡單了，我好鶸鶸鶸鶸鶸鶸阿

/** @Date    : 2017-07-28 19:30:46
  * @FileName: HDU 6053 莫比烏斯函數 容斥 1009.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth ([email protected])
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;
const LL mod = 1e9 + 7;

LL pri[N];
LL mu[N];
LL sum[N];
bool vis[N];
int c = 0;

void mobius()
{
    MMF(vis);
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i++)
    {
        if(!vis[i])
            pri[c++] = i, mu[i] = -1;
        for(int j = 0; j < c && i * pri[j] < N; j++)
        {
            vis[i * pri[j]] = 1;
            if(i % pri[j])
                mu[i * pri[j]] = -mu[i];
            else
            {
                mu[i * pri[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i = 0; i < N; i++)
    	mu[i] *= -1;
}

LL fpow(LL x, LL n)
{
	LL ans = 1;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1)
			ans = ans * x % mod;
		x = x * x % mod;
		n >>= 1;
	}
	return ans;
}

int n;
LL a[N];

int main()
{
	int icase = 0;
	int T;
	cin >> T;
	mobius();
	while(T--)
	{
		MMF(sum);
		scanf("%d", &n);
		LL mi = INF;
		LL ma = -1;
		for(int i = 0; i < n; i++)
		{
			scanf("%lld", a + i);
			mi = min(a[i], mi);
			ma = max(a[i], ma);
			sum[a[i]]++;
		}
		for(int i = 2; i <= ma; i++)
			sum[i] += sum[i - 1];

		LL ans = 0;
		for(LL g = 2; g <= mi; g++)
		{
			if(mu[g] == 0)
				continue;
			LL t = 1;
			LL cnt = 1;
			while(true)
			{
				int l = min(cnt * g, ma);
				int r = min((cnt + 1) * g - 1, ma);
				if(r > l - 1)
					t = (t * fpow(cnt, sum[r] - sum[l - 1]) % mod + mod) % mod;
				if(r == ma)
					break;
				cnt++;
			}
			//cout << t <<endl;
			ans = (ans + mu[g] * t + mod) % mod;
		}
		while(ans < 0)
			ans += mod;
		printf("Case #%d: %lld\n", ++icase, ans);
	}
    return 0;
}

HDU 6053 TrickGCD 莫比烏斯函數/容斥/篩法