《算法導論》— Chapter 12 二叉查找樹
序
查找樹是一種數據結構，它支持多種動態集合操作。包含Search、Minimum、Maximum、PreDecessor、Successor、Insert、Delete等。它既能夠用作字典，也能夠用作優先級隊列；在二叉查找樹（Binary Search Tree）上執行基本操作的時間與樹的高度成正比，對於一顆含有n個結點的全然二叉樹，基本操作的最壞情況執行時間為
本章討論二叉查找樹的基本性質以及上面提及的基本操作的實現。
GitHub 程序實現代碼
1 二叉查找樹
1.1 性質
例如以下圖所看到的。一顆二叉查找樹是依照二叉樹結構來組織的。這種樹一般用鏈表結構表示，每個結點是一個對象，包含關鍵字key、父親結點parent、左兒子結點left以及右兒子結點right四個屬性。
明顯的，對於二叉查找樹中關鍵字的存儲方式總是滿足這種性質：
設
1.2 基本操作
1.2.1 遍歷
依據二叉查找樹的性質。能夠用一個遞歸算法依照排列順序依次輸出全部關鍵字，這就是中序遍歷，遍歷順序為根、左子樹、右子樹。相同的，有前序遍歷，根的關鍵字在左右子樹之前輸出。後序遍歷。根的關鍵字在其左右子樹之後輸出。
1.2.2 查找
對於二叉查找樹，最常見的操作就是查找樹中的某個關鍵字。
查找操作相同採用遞歸的形式實現，其復雜度等於樹的高度。
操作步驟例如以下圖所看到的：
1.2.3 求最大、最小關鍵字
對於用作優先級隊列的結構。求最大最小關鍵字是不可缺少的操作。
要查找二叉查找樹中的最小關鍵字，依據樹的性質，僅僅要從根節點開始，沿著各個結點的left指針查找下去，直到遇到NULL為止。
同理，要查找二叉查找樹中的最大關鍵字，依據樹的性質。僅僅要從根節點開始，沿著各個結點的right指針查找下去，直到遇到NULL為止。
這兩個操作的執行時間都是
1.2.4 求前驅、後繼
我們知道。中序遍歷二叉查找樹得到的是一組有序序列，有時候須要求指定結點的前驅與後繼。對於給定結點
1.2.5 插入
插入和刪除操作會引起整個二叉查找樹表示的集合的動態變化。要反應出這種變化。就要改動數據結構，可是在改動的同一時候。還要保持整棵樹的性質不變。
將新值插入到一顆二叉查找樹中的步驟例如以下：
1.2.6 刪除
相對於插入操作。刪除更加復雜一些。下圖具體展示了刪除不同結點須要的步驟：
對高度為
2 二叉查找樹程序實現
以下給出的程序實現。包含了全部以上提及的基本操作：
#ifndef _BINARYSEARCHTREE_H_
#define _BINARYSEARCHTREE_H_
#include <iostream>
typedef struct BSTNode{
BSTNode *left;
BSTNode *right;
BSTNode *parent;
int key;
BSTNode(int data) : left(NULL), right(NULL), parent(NULL), key(data){}
};
class BinarySearchTree{
public:
BinarySearchTree();
~BinarySearchTree();
//插入刪除操作
void Insert(int data);
BSTNode *Delete(int data);
BSTNode *root;
};
//查找操作
BSTNode *Search(BSTNode * node, int data);
//遍歷操作
void InOrderWalk(BSTNode * node);
void PreOrderWalk(BSTNode * node);
void PostOrderWalk(BSTNode * node);
//查詢最大最小值
BSTNode *Maximum(BSTNode * node);
BSTNode *Minimum(BSTNode * node);
//查找前驅與後繼
BSTNode *PreDecessor(BSTNode *node);
BSTNode *Successor(BSTNode *node);
#endif#include "BinarySearchTree.h"
#include <iostream>
BinarySearchTree::BinarySearchTree()
{
root = NULL;
}
BinarySearchTree::~BinarySearchTree()
{
delete root;
}
//向二分查找樹中插入數據data
void BinarySearchTree::Insert(int data)
{
BSTNode *node = new BSTNode(data);
BSTNode *p = root, *q = NULL;
while (p != NULL)
{
q = p;
if (p->key > data)
p = p->left;
else
p = p->right;
}
node->parent = q;
if (q == NULL)
root = node;
else if (q->key > data)
q->left = node;
else
q->right = node;
}
//從二分查找樹中刪除數據
BSTNode *BinarySearchTree::Delete(int data)
{
BSTNode *node = Search(root, data);
BSTNode *ret , *tmp;
if (node == NULL)
return node;
//假設目標結點僅僅有一個子女則刪除該結點，否則刪除其後繼結點
if (node->left == NULL || node->right == NULL)
ret = node;
else
ret = Successor(node);
//假設被刪結點有左右孩子，將其鏈接到被刪結點的父節點
if (ret->left != NULL)
tmp = ret->left;
else
tmp = ret->right;
if (tmp != NULL)
tmp->parent = ret->parent;
//假設被刪結點的父節點為空，則說明要刪的是根節點
if (ret->parent == NULL)
root = tmp;
else if (ret == ret->parent->left)
ret->parent->left = tmp;
else
ret->parent->right = tmp;
if (ret != node)
node->key = ret->key;
return ret;
}
//查找以node結點為根的子樹中值為data的結點
BSTNode *Search(BSTNode * node, int data)
{
if (node == NULL || node->key == data)
return node;
if (data < node->key)
return Search(node->left, data);
else
return Search(node->right, data);
}
//遍歷操作
void InOrderWalk(BSTNode * node)
{
if (node != NULL)
{
InOrderWalk(node->left);
std::cout << node->key << "\t";
InOrderWalk(node->right);
}
}
void PreOrderWalk(BSTNode * node)
{
if (node != NULL)
{
std::cout << node->key << "\t";
InOrderWalk(node->left);
InOrderWalk(node->right);
}
}
void PostOrderWalk(BSTNode * node)
{
InOrderWalk(node->left);
InOrderWalk(node->right);
std::cout << node->key << "\t";
}
//查詢最大最小值
BSTNode *Maximum(BSTNode * node)
{
while (node->left != NULL)
node = node->left;
return node;
}
BSTNode *Minimum(BSTNode * node)
{
while (node->right != NULL)
node = node->right;
return node;
}
//查找前驅與後繼
BSTNode *PreDecessor(BSTNode *node)
{
if (node->left != NULL)
return Maximum(node->left);
BSTNode *p = node->parent;
while (p != NULL && node == p->left)
{
node = p;
p = node->parent;
}
return p;
}
BSTNode *Successor(BSTNode *node)
{
if (node->right != NULL)
return Minimum(node->right);
BSTNode *p = node->parent;
while (p != NULL && node == p->right)
{
node = p;
p = node->parent;
}
return p;
}#include "BinarySearchTree.h"
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;
const int MAX = 101;
const int N = 10;
int main()
{
BinarySearchTree *bst = new BinarySearchTree();
//設置隨機化種子，避免每次產生相同的隨機數
srand(time(0));
//構造一個隨機數組成的二分查找樹
for (int i = 0; i < N; i++)
bst->Insert(rand() % MAX);
//遍歷查找樹
cout << "先序遍歷二分查找樹bst：" << endl;
PreOrderWalk(bst->root);
//遍歷查找樹
cout << endl << "中序遍歷二分查找樹bst：" << endl;
InOrderWalk(bst->root);
//遍歷查找樹
cout << endl << "後序遍歷二分查找樹bst：" << endl;
PostOrderWalk(bst->root);
int x = 45;
BSTNode *node = Search(bst->root, x);
if (node)
{
cout << endl << "二分查找樹bst中存在結點x = " << x << endl;
bst->Delete(x);
cout << endl << "刪除二分查找樹中結點x = " << x << "成功！" << endl;
//遍歷查找樹
cout << endl << "先序遍歷二分查找樹bst：" << endl;
PreOrderWalk(bst->root);
//遍歷查找樹
cout << endl << "中序遍歷二分查找樹bst：" << endl;
InOrderWalk(bst->root);
//遍歷查找樹
cout << endl << "後序遍歷二分查找樹bst：" << endl;
PostOrderWalk(bst->root);
cout << endl << endl;
}
else{
cout << endl << "二分查找樹bst中不存在結點x = " << x << endl;
cout << endl << endl;
}
system("pause");
return 0;
}測試結果（查找失敗的情況）：
測試結果（查找成功並刪除）：
3 隨機構造的二叉查找樹
在本章的最後介紹了一種隨機構造二叉查找樹的理論方法，這主要是針對普通二叉查找樹基本操作執行時間
一棵在n個關鍵字上隨機構造的二叉查找樹的期望高度為
這一部分感覺應用不多吧，木有細致看，^||^~~
《算法導論》— Chapter 12 二叉查找樹