以前不是很重視 DP ，遇到 DP 就寫貪心、暴搜……其實這是非常錯誤的，現在開始練習 DP 了才發現，我好菜……

對於DP的整理，先從眾所周知的背包問題開始。

———————— 01背包：n 個物品，重量和價值分別為 w[i]、v[i]，背包容量 W,求所有挑選方案中價值總和的最大值。

DP 方程 ：dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] ] + v[i] ) ，其中 dp[j]為使用 j 的容量獲得的最大價值，i 為第 i 件物品。

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<string>
 7 using namespace std;
 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000];
 9 int main(){
10     scanf("%d %d",&n,&W);
 
11     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13     for(int j=W;j>=w[i];j--){
14         dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
15     }
16     printf("%d",dp[W]);
17     return 0;
18 }

———————— 完全背包：n 種物品，數目不限，其他的和 01背包 一 樣。

DP 方程 ： dp[j] = max ( dp[j] , dp[ j - w[i] + v[i] ) ，是不是感覺和 01背包 一樣？其實，就是 一樣……-- ^ --|||||，但代碼有細微差別……

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<string>
 7 using namespace std;
 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000];
 9 int main(){
10     scanf("%d %d",&n,&W);
11     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&w[i],&v[i]);
12     for(int i=1;i<=n;i++)
13     for(int j=w[i];j<=W;j++){
14         dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
15     }
16     printf("%d",dp[W]);
17     return 0;
18 }

那麽，問題來了，為什麽 01背包 是倒著 循環，而 完全背包 是正著循環……動筆模擬一下，你會發現且理解 — 正著循環會對一件物品重復選取╮（╯＿╰）╭，而倒著循環就不會……

———————— 多重背包：n 種物品，給定數目 m[i]，其他和 01 背包一樣。

DP 方程：dp[j] =max ( dp[j],dp[ j - w[i] ] + v[i] ），&%&……￥怎麽又一樣，其實 多重背包 就是特殊處理化的 01背包,這個特殊處理就是 二進制拆分。

二進制拆分：眾所周知什麽是二進制，二進制拆分就是把 m[i] 個物品拆成 1個物品、2個物品組成的新物品、4個物品組成的新物品、8個物品組成的新物品……一 直到不能拆為止，因為二進制可以 表示 出任何實數的嘛。

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<string>
 7 using namespace std;
 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000];
 9 int main(){
10     scanf("%d %d",&n,&W);
11     int x=n;
12     int y;
13     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]);
14     for(int i=1;i<=x;i++){
15         y=1;
16         while(m[i]>y&&m[i]>1){
17             n++;
18             w[n]=y*w[i];
19             v[n]=y*v[i];
20             m[i]-=y;
21             y=y*2;
22         }
23         w[i]=m[i]*w[i];
24         v[i]=m[i]*v[i];
25     }
26     for(int i=1;i<=n;i++)
27     for(int j=W;j>=w[i];j--){
28         dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
29     }
30     printf("%d",dp[W]);
31     return 0;
32 }

———————— 三種混合背包（01背包、完全背包、多重背包）：這種問題就是給定 m[i]，若 m[i] 為 -1，則為數目無限，否則數目有限，其他的和 01背包 一樣。雖然寫著是三種 混合背包，但我認為實際上是兩種背包，多重背包 和 完全背包。方法就是能拆分的就拆分，在循環的時候，判斷一下，如果是 完全背包 就正著循環，不然就倒 著循環…………蠻easy的QAQ~

代碼：

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<string>
 7 using namespace std;
 8 int n,W,w[2000],v[2000],dp[2000],m[2000];
 9 int main(){
10     scanf("%d %d",&n,&W);
11     int x=n;
12     int y;
13     for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d %d",&w[i],&v[i],&m[i]);
14     for(int i=1;i<=x;i++) if(m[i]!=-1) { 
15         y=1;
16         while(m[i]>y&&m[i]>1){
17             n++;
18             w[n]=y*w[i];
19             v[n]=y*v[i];
20             m[i]-=y;
21             y=y*2;
22         }
23         w[i]=m[i]*w[i];
24         v[i]=m[i]*v[i];
25     }
26     for(int i=1;i<=n;i++) 
27         if(m[i]!=-1)
28         for(int j=W;j>=w[i];j--){
29             dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
30     }
31     else 
32         for(int j=w[i];j<=W;j++)
33              dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
34     printf("%d",dp[W]);
35     return 0;
36 }

DP——背包問題（一）