定義1：設$\Sigma $是由非空集合$\Chi $ 中的子集所構成的集合族，稱$\Sigma $ 為一個$\sigma $-代數；
當且僅當滿足下列條件：
（1）$\varnothing \in \Sigma $ ；
（2）若$\Alpha \in \Sigma $ ，則${{\Alpha }^{C}}\in \Sigma $ ；
（3）若${{\Alpha }_{n}}\in \Sigma $ ，則$\bigcup\limits_{n=1}^{\infty }{{{\Alpha }_{n}}}\in \Sigma $ ；$n=1,2,...)$
定義2：設$\Chi $ 為一非空集合，由$\Chi $ 的所有子集構成的集合族稱為$\Chi $ 的冪集，記為
$\Rho (\Chi )$ 。
定理1：冪集$\Rho (\Chi )$ 為一個$\sigma $-代數。
證明：因為冪集包含了$\Chi $ 的所有子集，要證該定理只需證某些集合為$\Chi $ 的子集即可。
（1）$\varnothing $ 是任何集合的子集，則也是$\Chi $ 的子集；
（2）若$\Alpha $ 是$\Chi $ 的子集，$\Chi -\Alpha $即$\Alpha $的補集自然是$\Chi $的子集；
（3）若$\forall n\in \Nu $，${{\Alpha }_{n}}$ 是$\Chi $ 的子集，子集的無限並集仍然是$\Chi $的子集。
註1：該定理很容易看出，實則無需證明，該證明過程重在提供“證明集合族是一$\sigma $-代數”的思想———按定義檢驗。

註2：任一非空集合$\Chi $ 均存在其冪集，且冪集中元素的個數為${{2}^{\text{n}}}$ ，$n$ 為非空集合$\Chi $中的元素個數。

推論1：任一非空集合均存在一個$\sigma $-代數。（由冪集的存在性以及定理1推出）

定義3：設$\Gamma $ 為非空集合$\Chi $ 中的一些子集所構成的集合族，$\Sigma $ 為包含$\Gamma $ 的一個$\sigma $-代數，
如果$\Sigma $為包含子集族$\Gamma $ 的最小$\sigma $-代數，則稱為由$\Gamma $ 生成的$\sigma $-代數，記為$\Sigma (\Gamma )$ 。

實分析系列：點集拓撲之sigma代數