最近接觸了動態規劃這個厲害的方法，還在慢慢地試著去了解這種思想，因此就在LeetCode上面找了幾道比較簡單的題目練了練手。

首先，動態規劃是什麽呢？很多人認為把它稱作一種“算法”，其實我認為把它稱作一種“思想”更為合適；利用動態規劃去解決問題，其實就是逐步遞推的過程，與貪心算法不同，動態規劃遞推的每一步都要求是當前的最優解（這是很重要的，遞推的正確性依賴的就是這一點）；利用動態規劃解題時，必須自己定義出來狀態和狀態轉移方程。然而，看上去簡單，做起來卻非常困難，因為解題時的具體形式千差萬別，找出問題的子結構以及通過子結構重新構造最優解的過程很難統一。

經典的動態規劃題目有背包問題、硬幣問題等等，可以通過這些題目去理解一下這個東西。

我認為，動態規劃最難的就是找出狀態方程。同時，個人認為比較難的是，懂得去利用“前面每一步都是最優解”這一點。

廢話不多說，直接看看LeetCode上簡單的動態規劃題目。

要註意的是，下面的三題都用到了局部最優和全局最優解法：

1.Jump Game

原題地址：https://leetcode.com/problems/jump-game/description/

解法：

用一個global變量保存到目前為止能跳的最遠距離，用一個local變量保存當前一步出發能跳的最遠距離，這題裏面的狀態就是走到每一步時的global[i]值，狀態轉移方程就是global[i] =max{nums[i] + i, global[i-1]}。當然，寫代碼的時候用變量代替數組即可。

class Solution {
public:
    bool canJump(vector<int>& nums) {
    　　int reach = 0;
    　　for (int i = 0; i < nums.size() - 1 && reach >= i; i++) {
        　　reach = nums[i] + i > reach ? nums[i] + i : reach;
    　　}
    　　return reach >= nums.size() - 1;
　　}
};

2.Maximum Subarray

原題地址：https://leetcode.com/problems/maximum-subarray/description/

解法：

這一題要維護兩個變量：global和local，與上面一題一樣，local保存包含當前元素的最大值（局部最優），global保存的是所有情況裏面的最大值（全局最優）。假設第i步的local[i]和global[i]已知，那麽第i+1步的local[i + 1] = max{ nums[i] + local[i], nums[i + 1] }，global[i + 1] = max{global[i], local[i + 1]}。代碼如下：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
    　　int global = nums[0], local = nums[0];
    　　for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
        　　local = nums[i] > nums[i] + local ? nums[i] : nums[i] + local;
        　　global = local > global ? local : global;
    　　}       
    　　return global;
　　}
};

3.Best Time to Buy and Sell Stock

原題地址：https://leetcode.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock/description/

這道題目有兩種方法，其實都是動態規劃：

（1）

class Solution {
public:
   int maxProfit(vector<int>& prices) {
       if (prices.size() == 0) return 0; 
    　　int maxPrice = prices[prices.size() - 1];
   　　 int res = 0;
    　　for (int i = prices.size() - 1; i >= 0; i--) {
        　　maxPrice = max(maxPrice, prices[i]);
        　　res = max(res, maxPrice - prices[i]);
    　　}
    　　return res;     
　　}
};

這種解法在這個博客裏面講得很詳細：http://www.cnblogs.com/remlostime/archive/2012/11/06/2757434.html

（2）局部最優和全局最優解法：

class Solution {
public:
   int maxProfit(vector<int>& prices) {
      if (prices.size() == 0) return 0;
    　　int local = 0, global = 0;
    　　for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
        　　local = max(0, local + prices[i] - prices[i - 1]);
        　　global = max(local, global);
    　　}
   　　 return global;   
　　}
};

local = max(0, local + prices[i] - prices[i - 1])這一句，我一開始在考慮：為什麽不寫成local = max(local, local + prices[i] - prices[i - 1])呢？
後來想了一下，因為假如這樣寫，有可能得到的就不是包含當前元素的局部最優解了。所以，在“局部最優和全局最優解法”裏面，永遠不會出現local=local的情況。

這篇文章講的都是具體題目的解法，要真正理解動態規劃，真的要多做題，多找規律。

[LeetCode] 動態規劃入門題目