[luogu]P1066

2^k進制數

題目描述

設r是個2^k 進制數，並滿足以下條件：

（1）r至少是個2位的2^k 進制數。

（2）作為2^k 進制數，除最後一位外，r的每一位嚴格小於它右邊相鄰的那一位。

（3）將r轉換為2進制數q後，則q的總位數不超過w。

在這裏，正整數k（1≤k≤9）和w（k<W≤30000）是事先給定的。

問：滿足上述條件的不同的r共有多少個？

我們再從另一角度作些解釋：設S是長度為w 的01字符串（即字符串S由w個“0”或“1”組成），S對應於上述條件（3）中的q。將S從右起劃分為若幹個長度為k 的段，每段對應一位2^k進制的數，如果S至少可分成2段，則S所對應的二進制數又可以轉換為上述的2^k 進制數r。

例：設k=3，w=7。則r是個八進制數（2^3=8）。由於w=7，長度為7的01字符串按3位一段分，可分為3段（即1，3，3，左邊第一段只有一個二進制位），則滿足條件的八進制數有：

2位數：高位為1：6個（即12，13，14，15，16，17），高位為2：5個，…，高位為6：1個（即67）。共6+5+…+1=21個。

3位數：高位只能是1，第2位為2：5個（即123，124，125，126，127），第2位為3：4個，…，第2位為6：1個（即167）。共5+4+…+1=15個。

所以，滿足要求的r共有36個。

輸入輸出格式

輸入格式：

輸入只有1行，為兩個正整數，用一個空格隔開：

k W

輸出格式：

輸出為1行，是一個正整數，為所求的計算結果，即滿足條件的不同的r的個數（用十進制數表示），要求最高位不得為0，各數字之間不得插入數字以外的其他字符（例如空格、換行符、逗號等）。

（提示：作為結果的正整數可能很大，但不會超過200位）

輸入輸出樣例

輸入樣例1#：

3 7

輸出樣例1#：

36

說明

NOIP 2006 提高組 第四題

遞推性質很明顯，當這位數填i時，下一位只能是（i,2^k），用一個狀態f[i][j]表示第i位填j的情況，這樣會超時，註意是一個連續區間一起轉移，可以采用前綴和的方式：

我們就可以得到轉移（從後往前做）： f[i][j]=f[i-1][(1<<k)-1]-f[i-1][j]，f[i][j]+=f[i][j-1]；

註意我們每次調用的一定比當前值大，於是我們可以省掉一維。

其實比較坑爹的還是高精度啦，可惡。

代碼：

 1 //2017.11.6
 2 //遞推 高精度 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long ll ;
 8 inline int read();
 9 int Max(int x,int y){return x>y?x:y;}
10 namespace lys{
11     struct gjd{
12         int a[216];
13         int len;
14         gjd(){memset(a,0,sizeof a); len=0;}
15     };
16     gjd f[1<<10+7],ans;
17     gjd add(gjd x,gjd y){
18         int l=Max(x.len,y.len);
19         int i,p=0;
20         gjd z;
21         for(i=1;i<=l;i++) z.a[i]=x.a[i]+y.a[i]+p,p=z.a[i]/10,z.a[i]%=10;
22         if(p) z.a[++l]=p;
23         z.len=l;
24         return z;
25     }
26     gjd div(gjd x,gjd y){
27         int l=x.len;
28         int i;
29         gjd z;
30         for(i=1;i<=l;i++){
31             z.a[i]=(x.a[i]-y.a[i]+10)%10;
32             if(x.a[i]<y.a[i]) x.a[i+1]--;
33         }
34         if(!z.a[l]) l--;
35         z.len=l;
36         return z;
37     }
38     int K,w;
39     int main(){
40         ans.len=1;
41         int i,j,k;
42         K=read(); w=read();
43         int n=w/K;
44         for(i=0;i<(1<<K);i++){
45             int x=i,t=0;
46             while(x){
47                 f[i].a[++t]=x%10;
48                 x/=10;
49             }
50             f[i].len=t;
51         }
52         for(i=2;i<=n;i++)
53             for(j=0;j<(1<<K);j++){
54                 f[j]=div(f[(1<<K)-1],f[j]);
55                 if(j) ans=add(ans,f[j]),f[j]=add(f[j],f[j-1]);
56             }
57         n=w%K;
58         for(i=1;i<(1<<n);i++) ans=add(ans,div(f[(1<<K)-1],f[i]));
59         for(i=ans.len;i;i--) printf("%d",ans.a[i]);
60         puts("");
61         return 0;
62     }
63 }
64 int main(){
65     lys::main();
66     return 0;
67 } 
68 inline int read(){
69     int kk=0,ff=1;
70     char c=getchar();
71     while(c<‘0‘||c>‘9‘){
72         if(c==‘-‘) ff=-1;
73         c=getchar();
74     }
75     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) kk=kk*10+c-‘0‘,c=getchar();
76     return kk*ff;
77 }

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