信號與系統課程中的一個比較核心的思想就是把信號分解成為由很多移位的單位脈沖信號的線性累積，在根據一個單位脈沖通過LTI系統的響應，計算出輸入信號對於的輸出。這樣的一個好處在於，對於所有的LTI系統，就只需要知道這個系統的單位脈沖響應，那麽對於任意的輸入信號就都能夠得到他的輸出信號是什麽。這就是所謂的分析整個信號的“1”。

　　下面是我自己對卷積的計算以及理解的一些想法：

　　使用前提 ：

　　1、系統是LTI系統，因為線性時不變系統滿足

　　　　（1）齊次性 ：

　　　　（2）疊加性 ： 這是卷積分解在合成的保證

　　卷積定義過程

　　1、將信號分解為移位的單位脈沖信號的線性疊加

　　　　上面的表達式是吧x信號分解到不同的脈沖移位單元上，之後通過線性組合疊加起來。在信號系統中，這種加法是線性的疊加，不是累積。

　　2、假設系統一個單位脈沖的單位脈沖相應是h[n],根據LTI系統的齊次性和疊加性質，整個x[n]的的系統響應就是x[n]分解過後的每一個單位脈沖的單位脈沖脈沖響應的線性疊加，即

　　　　其中hk[n]表示為系統在k點處的系統響應，這裏再說一次這裏的k[n]是一組序列，而不是表示的h在n點的值。 由於單位脈沖的值是等於1，所以上式可以簡化為如下所示：

　　　　這就得到了卷積的公式的原始雛形，由於系統是一個線性時不變系統，hk[n]表示的是系統在k點處的響應，也可以理解為是h[n]的位移k個單位後的序列，即:

　　　表達式中n-k是應為假設k = 1 ； 那麽系統的響應就是右移移位，即h[n - 1].

　　　　為了簡化書寫，h0[n-k]就簡化寫為h[n - k ],所以左後的表示式就是

　　3、上述卷積公式的理解方式1：卷積在概念上理解就是各個位置上的脈沖響應的疊加，比如說系統的輸入為x[n] ; 系統的脈沖響應為h[n],那麽對於整個系統的輸出就可以表述為

　　　　... + x[-t]*h[n+t] + ... + x[-5]*h[n+5] + x[-4]*h[n+4] ... + x[0]*h[n] + ... + x[4]*h[n-4] + x[5]*h[n-4] + ... + x[t]*h[n-t] + ...

　　　　x[t]是系統輸入的值，而h[n-t]則是整個脈沖響應的移位，之後再把整個都疊加起來。下面是一個歷程

　　　　　y[n] 的輸出是兩組移位後的脈沖影響的線性疊加，分解步驟如下圖所示：

　　這是第一種關於卷積的理解，從直觀上來總結就是每一個輸入位置點對應於一個位置的單位脈沖響應，之後再把這個相應位置點上的單位脈沖輸出線性疊加起來就能夠得到整個系統的輸出響應。

　　4、第三點上關於卷積的理解是從純粹的疊加上來理解的，這樣雖然方便理解，但是在計算過程中，就需要把每一個點上的脈沖響應都繪制出來在計算，是相當麻煩的，那麽就有一種方便計算的另外一種理解方式，如下所示

　　　 上一個觀點是站在脈沖響應的基礎上觀察問題的，新的觀點則是站在輸出點位置y[n]上去觀察這個問題。　

　　　　此處開始更換一個角度看這個公式，因為我要求解的是對應n點的值，即求y[n]，那麽n就是一個固定值，對於上述公式的右邊部分就可以理解為是關於k為自變量的序列，所以

　　　　這裏就變換成為了在k的自變量上對x[k]和h[0-k]做乘法的累積，其中h[-k]就是對h[n]的時間上的翻轉，如下所示：

所以這就是關於卷積的另一種理解方式，方便計算。

關於卷積的一些理解