【題意】給定ai，將1~n從小到大插入到第ai個數字之後，求每次插入後的LIS長度。

【算法】樹狀數組||平衡樹

【題解】

這是樹狀數組的一個用法：O(n log n)尋找前綴和為k的最小位置。（當數列中只有0和1時，轉化為求對應排名的數字，就是簡單代替平衡樹）

根據樹狀數組的二進制分組規律，從大到小進行倍增，可以發現每次需要加的Σa[i],i∈(now,now+(1<<i)]剛好就是c[now+(1<<i)]。

文字表述就是，跳躍到的位置的c[]剛好表示中間跳躍的數字和，這是樹狀數組二進制分組規律的特殊性質。

還需要註意的是，實際上需要尋找前綴和<k的最大位置，最後+1。(否則會被目標數字後面的0幹擾）

利用上述的方法，初始樹狀數組全部置為1，然後從n到1倒著尋找並刪除，就可以得到每個數字在最終序列中的位置。

這道題由於從小到大插入，可以發現將所有數字全部插入也不會破壞過程中需要的LIS（只會在最後增長）。

那麽第i個答案就是以數字1~i結尾的LIS的最長長度。

所以令f[i]表示最終序列中以數字 i 結尾的LIS，則第i個答案就是min(f[j]),j=1~i。（是數字i，不是第i個位置）

求解f[i]只需在O(n log n)求解整個最終序列的LIS的過程中求出即可。

總復雜度O(n log n)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include
 
<algorithm>
#include<cctype>
#define lowbit(x) (x&-x)
using namespace std;
const int maxn=100010;
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],g[maxn],anss[maxn],n;
int read(){
    char c;int s=0,t=1;
    while(!isdigit(c=getchar()))if(c==‘-‘)t=-1;
    do{s=s*10+c-‘0‘;}while(isdigit(c=getchar()));
    return
 
 s*t;
}
void insert(int x,int k){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))c[i]+=k;}
int find(int x){
    int now=0,ans=0;
    for(int i=20;i>=0;i--){
        now+=(1<<i);
        if(now<n&&ans+c[now]<x)ans+=c[now];//< near
        else now-=(1<<i);
    }
    now++;
    insert(now,-1);
    return now;
}
int max(int a,int b){return a<b?b:a;}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=read();
        c[i]++;c[i+lowbit(i)]+=c[i];
    }
    for(int i=n;i>=1;i--)b[find(a[i]+1)]=i;
    int m=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int s=lower_bound(g+1,g+m+1,b[i])-g;
        if(s>m)g[++m]=b[i];else g[s]=b[i];
        anss[b[i]]=s;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        anss[i]=max(anss[i-1],anss[i]);
        printf("%d\n",anss[i]);
    }
    return 0;
}

最後，代碼中運用的線性構造樹狀數組，原理十分簡單。

首先要求1~n都有數字（0也行），然後每個數加到自身c[i]+=a[i]，再貢獻一下父親c[i+lowbit(i)]+=c[i]就可以了。

【BZOJ】3173: [Tjoi2013]最長上升子序列（樹狀數組）