最近在做圖形學的實驗，關於貝塞爾曲線在網上看到一個非常好的資料：

以下內容轉載自：https://www.cnblogs.com/hnfxs/p/3148483.html

原理和簡單推導（以三階為例）：

設P₀、P₀²、P₂是一條拋物線上順序三個不同的點。過P₀和P₂點的兩切線交於P₁點，在P₀²點的切線交P₀P₁和P₂P₁於P₀¹和P₁¹，則如下比例成立：

這是所謂拋物線的三切線定理。

當P₀，P₂固定，引入參數t，令上述比值為t:(1-t)，即有：

t從0變到1，第一、二式就分別表示控制二邊形的第一、二條邊，它們是兩條一次Bezier曲線。將一、二式代入第三式得：

當t從0變到1時，它表示了由三頂點P₀

並且表明：

這二次Bezier曲線P₀²可以定義為分別由前兩個頂點(P₀,P₁)和後兩個頂點(P₁,P₂)決定的一次Bezier曲線的線性組合。

依次類推，

由四個控制點定義的三次Bezier曲線P₀³可被定義為分別由(P₀,P₁,P₂)和(P₁,P₂,P₃)確定的二條二次Bezier曲線的線性組合，由(n+1)個控制點P_i(i=0,1,...,n)定義的n次Bezier曲線P₀ⁿ可被定義為分別由前、後n個控制點定義的兩條(n-1)次Bezier曲線P₀^n-1與P₁^n-1的線性組合：

由此得到Bezier曲線的遞推計算公式

這就是這就是de Casteljau算法，可以簡單闡述三階貝塞爾曲線原理。

下面是總結：轉自http://blog.csdn.net/tianhai110/article/details/2203572

Bézier curve(貝塞爾曲線)是應用於二維圖形應用程序的數學曲線。 曲線定義：起始點、終止點（也稱錨點）、控制點。通過調整控制點，貝塞爾曲線的形狀會發生變化。 1962年，法國數學家Pierre Bézier第一個研究了這種矢量繪制曲線的方法，並給出了詳細的計算公式，因此按照這樣的公式繪制出來的曲線就用他的姓氏來命名，稱為貝塞爾曲線。

以下公式中：B(t)為t時間下 點的坐標；

P₀為起點,P_n為終點,P_i為控制點

一階貝塞爾曲線(線段)：

意義：由 P0 至 P1 的連續點， 描述的一條線段

二階貝塞爾曲線(拋物線)：

原理：由 P0 至 P1 的連續點 Q0，描述一條線段。
由 P1 至 P2 的連續點 Q1，描述一條線段。
由 Q0 至 Q1 的連續點 B(t)，描述一條二次貝塞爾曲線。

經驗：P1-P0為曲線在P0處的切線。

三階貝塞爾曲線：

通用公式：

高階貝塞爾曲線：

4階曲線：

5階曲線：

貝塞爾曲線原理（轉載）