【Right集合】

後綴自動機真正優於後綴樹的方面在於：結合了有限狀態自動機，從而實現了O(n)的時空復雜度。

trans(s,str)表示s+str到達的狀態。

ST(str)=trans(init,str)即包括了str這一子串的唯一狀態（一個子串只能屬於一個狀態）

定義字符串a在S中出現的右端點位置集合Right(a)=r₁,r₂...r_n。

SAM中一個狀態s的Right集合為Right(s)，那麽狀態s表示所有[Right(a)=Right(s)的子串a]，那麽實際上狀態s表示的子串a的長度在一個區間內，記作[Min(s),Max(s)]。字符串越短，Right集合越大。

容易證明對於任意狀態a和b，Right(a)和Right(b)要麽包含要麽不相交。（很顯然的結論，只是論文的證明比較嚴格化）

★在後綴自動機中，一個狀態s（或稱“節點s”）表示的是Right(a)=Right(s)的若幹子串a，其長度區間為[MIn(s),Max(s)]，從而達到狀態數O(n)的目的。

Right集合形成的樹形包含關系稱為Parent Tree，樹邊由孩子指向父親，是SAM中的失配邊。

Parent樹從上往下，子串長度擴大，Right集合變小，父節點的Right集合包含子節點的Right集合。

fa=Parent(s)當且僅當fa是使Right(fa)最小且滿足Right(s)?Right(fa)的結點，（從兒子到父親，就是子串稍微縮短，Right集合變大）

另有Max(fa)=Min(s)-1，實質上是要求fa和s之間沒有一個Right子集x滿足Right(s)?Right(x)?Right(fa)。

【線性構造SAM】

線性構造采用增量法，即已知字符串T的SAM(T)，L=Len(T)，在末尾加入字符x，構造SAM(Tx)，轉移如下：

①實邊轉移規則：t=trans(s,x)表示s--->t標號為x的邊，若Right(s)={r1,r2...rn}，則Right(t)={r_i+1|s[r_i+1]=x}。

②虛邊轉移規則：Parent樹邊滿足Right(s)?Right(fa)，Max(fa)=Min(s)-1（含義如上所述）

加入x，考慮所有Right集合包含L的結點v1,v2...vk，顯然它們在Parent樹上是一條從根到葉子的鏈。

定義葉子結點v1=p=ST(T)（即p代表整個串），Right(p)={L}，不妨它們從後代到祖先排為v1=p...vk=root。

同時新建結點np=ST(Tx)，Right(np)={L+1}。

考慮節點v，Right(v)={r1,r2...rn=L}

根據轉移規則①，如果除了rn外不存在S[ri+1]=x，那麽節點v不存在trans(v,x)。

根據轉移規則②，越往上Right集合逐漸擴大直至節點vp存在trans(vp,x)，那麽v₁~v_p-1只須向np連出標號為x的邊（np=trans(v,x)），而vp~vk都已經存在trans(v,x)。

令trans(vp,x)=q，當Max(q)=Max(vp)+1時，只須在q的Right集合中插入L+1。

下面重點討論Max(q)>Max(vp)+1的情況。

【算法】後綴自動機SAM