【算法專題】卡特蘭數（計數數列）
Catalan數列：1 1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
【計數映射思想】
參考：卡特蘭數 — 計數的映射方法的偉大勝利
計數映射：將難以統計的數映射為另一種形式的可以統計的數。
一、入棧出棧序
n個數字，有多少種合法的入棧出棧序列？n=3時的合法序列之一：+1,-1,+1,+1,-1,-1
對於n個數字，就是要在2n個1中添加n個“+”，則序列總數C(2n,n)。
對於未入棧先出棧的不合法情況，在其第一次前綴和為-1時，將前面的所有符號反轉，此時整個序列有n+1個“+‘和n-1個’-‘，每個不合法序列都映射為2n個1中添加n+1個‘+‘構成的序列。
正向：每個不合法序列第一個前綴和為-1的位置反轉後，形成的序列不同。
反向：每個含n+1個"+"的序列，第一個前綴和為1的位置反轉後，形成的不合法序列不同。
所以得到卡特蘭數：Cn=C(2n,n)-C(2n,n-1)=C(2n,n)/(n+1)。
例一、含n+1個節點的滿二叉樹形態數：中序遍歷，向左+1向右-1，轉化為入棧出棧序。
例二、圓上n個點連弦數：順時針順序每次+1和-1連弦，轉化為入棧出棧序。
例三、n對括號表達式：左括號+1右括號-1，括號表達式組合數轉化為入棧出棧序。
例四、n+1個數字連乘：結合n次即有n對有效括號，轉化為括號表達式。
例五、凸n+2邊形的三角剖分數：對邊進行編號，然後順時針掃描，實際上是n+1條邊的連乘方案，轉化為入棧出棧序。
二、不跨線路徑數（幾何模型）
入棧出棧序：考慮n*n的方格，從左下到右上不跨越對角線的路徑數，向右記為+1，向上記為-1，跨越對角線就是前綴和為-1，則轉化為入棧出棧序。
考慮n*m的方格，一條不合法路徑在第一次跨越對角線的時候，將前面的路徑翻轉(上變左,左變上)，那麽就變成了到(n-1,m+1)的路徑數。
那麽f(n,m)=C(n+m,n)-C(n+m,n-1)。
【分治思想】
一個問題A，規模為n，可以用分治的思想，先固定一個元素，然後將剩下n-1個元素拆分成兩個問題，根據固定的元素位置不同，兩個問題分別是(0,n-1)(1,n-2)...(n-1,0)。
例一、入棧出棧序：固定最後出棧的數字是第k個加入的數，那麽k前面是k-1個數的入棧出棧序問題，k後面是n-k個數的入棧出棧序問題，則有：
C(n)=C(0)*C(n-1)+C(1)*C(n-2)+...+C(n-1)C(0)，即C(n)=ΣC(i)*C(n-i-1)，i=0~n-1，C(0)=1。
例二、凸n+2邊形三角剖分數：先固定三角形V1VkVn+2，劃分成凸k多邊形和凸n+2-k邊形，轉化為Cn。
★總結：Catalan數的題目，一般從幾種方式看出：轉化為入棧出棧序，轉化為幾何不跨線路徑數，定點分治思想，打表。
【算法專題】卡特蘭數（計數數列）