z逆變換的計算為下面的復數閉合曲線積分：

$x[n] = \displaystyle{\frac{1}{2\pi j}}\oint_{C}X(z)z^{n-1}dz$

式中$C$表示的是收斂域內的一條閉合曲線。該積分表達式可以利用復數變量理論下的柯西積分定理推導得到。不過本門課程用不上這條式子，因為在離散LTI系統分析中所遇到的典型序列和z變換，有如下更簡單的z逆變換求解辦法。

觀察法（查表）

下面是一個常見序列的z變換表格，通過查表可以由z變換所得的函數反過來求得原序列

部分分式展開法

不過也經常出現輸入序列為組合序列的情況，這種序列的z變換就是它的組成序列的z變換的線性組合。

如果某個輸入序列是這些典型序列的線性組合，那麽這個輸入序列的z變換就能表示成各個典型序列的z變換之和

$x_1[n]+x_2[n]+x_3[n]+\cdot\cdot\cdot\stackrel{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}X_1(z)+X_2(z)+X_3(z)+\cdot\cdot\cdot$

分式展開法

觀察上面的表格可以發現大多數典型序列的z變換都是分數形式，因此這些z變換的組合可以假設為

$\displaystyle{X(z) = \frac{b_0}{a_0}\frac{\prod_{k=1}^{M}(1-c_kz^{-1})}{\prod_{k=1}^{N}(1-d_kz^{-1})}}$

其中$c_k$是$X(z)$的非零值零點，$d_k$是$X(z)$的非零值極點。分母是各個典型序列的分母的乘積，把各個典型序列的z變換（分數）相加就能得到上面的式子。

$M<N$

若$M<N$，並且極點都是一階（即沒有相同的極點，即沒有相同的$d_k$）的，那麽$X(z)$就能表示為

$X(z) = \displaystyle{\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}}}$

此時，等式兩邊乘以$(1-d_kz^{-1})$，並取$z$等於其中的某個極點$z=d_k$，可以消去等式右邊除了$A_k$之外所有的項

$(1-d_kz^{-1})X(z)|_{z=d_k} = A_k$

按照這種計算方式可以得到所有的$A_k$，然後通過查表即可得到各個和式所對應的序列。

$M\geqslant N$

若$M\geqslant N$則可以用長除法，分子除以分母以使得分式的$M<N$，然後就可以按照上述方法繼續求解

$X(z) = \displaystyle{ \sum_{r=0}^{M-N}B_rz^{}-r +\sum_{k=1}^{N}\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}}}$

重復極點

如果$X(z)$有多重極點在$z=d_i$，階數為$s$（在該極點上有$s$個重復極點）,而且$M\geqslant N$，那麽有

$X(z) = \displaystyle{ \sum_{r=0}^{M-N}B_rz^{-r} +\sum_{k=1,k\neq i}^{N}\frac{A_k}{1-d_kz^{-1}}+\sum_{m=1}^s\frac{C_m}{(1-d_iz^{-1})^m}}$

其中$C_m$由如下式求得

$\displaystyle{C_m = \frac{1}{(s-m)!(-d_i)^{s-m}}}\left\{ \frac{d^{s-m}}{d\omega^{s-m}}[(1-d_i\omega)^sX(\omega^{-1})]\right \}_{\omega=d_i^{-1}}$

例子

考慮有一序列$x[n]$，其z變換為

$X(z) = \frac{1+2z^{-1}+z^{-2}}{1-\frac{3}{2}z^{-1}+\frac{1}{2}z^{-2}}=\frac{(1+z^{-1})^2}{\left(1-\frac{1}{2}z^{-1} \right )(1-z^{-1})}\qquad |z|>1$

右下圖為$X(z)$的零-極點圖

• 根據收斂域可知序列$x[n]$為一個右邊序列
• 觀察$X(z)$可發現其兩個極點都是一階的
• 因為$X(z)$的分子分母都是二次的，即$M=N=2$

因此$X(z)$可表示為

$X(z) = B_0+\frac{A_1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}+\frac{A_2}{1-z^{-1}}$

其中常數$B_0$能用長除法求得

$\begin{align*}
& &2\\
&{\frac{1}{2}z^{-2}-\frac{3}{2}z^{-1}+1} &\overline{\left )z^{-2}+2z^{-1}+1\right.}\\
& &\underline{z^{-2}-3z^{-1}+2}\\
& &5z^{-1}-1
\end{align*}$

余項為一次項，即$M<N$，因此$X(z)$可以寫成

$X(z) = 2+\frac{-1+5z^{-1}}{\left(1-\frac{1}{2}z^{-1} \right )(1-z^{-1})}$

接下來求系數$A_1$以及$A_2$

$\begin{align*}
A_1 &= \left[\left(2+\frac{-1+5z^{-1}}{\left(1-\frac{1}{2}z^{-1} \right )(1-z^{-1})} \right )\left(1-\frac{1}{2}z^{-1} \right ) \right ]_{z=1/2} = -9\\
A_1 &= \left[\left(2+\frac{-1+5z^{-1}}{\left(1-\frac{1}{2}z^{-1} \right )(1-z^{-1})} \right )\left(1-z^{-1} \right ) \right ]_{z=1} = 8
\end{align*}$

因此

$X(z) = 2-\frac{9}{1-\frac{1}{2}z^{-1}}+\frac{8}{1-z^{-1}}$

查表可得

$x[n] = 2\delta[n]-9\left( \frac{1}{2} \right)^nu[n]+8u[n]$

冪級數展開法

如果$X(z)$由如下冪級數的形式給出時

$X(z) = \cdot\cdot\cdot+x[-2]z^{2}+x[-1]z^{1}+x[0]+x[1]z^{-1}+x[2]z^{-2}$

如果該多項式長度有限，我們就能得到該序列的所有的值。

如果該多項式無限長，我們可以觀察該多項式是否能表示成如下形式

$X(z) = \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(n)z^{-n} }$

如果能轉換成這種形式，就可以得到序列$x[n] = f(n)$

[離散時間信號處理學習筆記] 8. z逆變換