int log || love 其他 會有 最小值 不能 while

題面戳我
題意：多組數據，給出n，m，求
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}f(\gcd(i,j))\]
其中\(f(i)\)表示\(i\)所含質因子的最大冪指數。
例如\(f(1960)=f(2^3*5^1*7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0\)。
\(T\le10^5,n,m\le10^7\)

sol

首先到了這一步\[ans=\sum_{T=1}^{n}\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac Td)\]
所以說\(h(T)=\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac Td)\)

這個函數的前綴和怎麽求？
暴力篩？\(n\le10^7!\)
所以這個時候就需要研究這個函數的性質。
我們假設\(T\)被唯一分解為\(p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)
為了保證有貢獻我們要讓\(\mu(\frac Td)\)非零，那麽\(\frac Td\)的最大指數冪不能超過一。也就是說枚舉的\(d=p_1^{b_1}p_2^{b_2}...p_k^{b_k}\)必須滿足，對於所有\(i\in[1,k]\)有\(0\le a_i-b_i\le 1\)。那麽這麽來說對於每個\(T\)，設其一共含有\(k\)種不同的質因數，那麽會給它貢獻的就只有\(2^k\)個數。枚舉的每個\(d\)，就有\(f(d)=max\{b_i\}\)
分兩種情況討論：
1、存在一組\(i,j\)使\(a_i< a_j\)。那麽此時\(b_i\)就永遠不可能成為\(\max\{b\}\)，換言之，無論你取不取這個\(i\)，\(f(d)\)的值算出來都是一樣的。又因為取這個\(i\)的時候的\(\mu(\frac Td)\)值與不取這個\(i\)的時候的\(\mu(\frac Td)\)值恰好相反，所以加起來就會有\(h(T)=0\)。
2、所有\(a_i\)都相等。還是裝作上一種情況算，不同之處在於當所有\(b_i\)取\(a_i-1\)的時候\(f(d)=b_i=a_i-1\)，那麽這時\(h(T)\)的值就只與這個-1前面的\(\mu\)值有關（因為其他的都抵消掉了）。易知這個-1前面的系數是\(\mu(p_1p_2...p_k)\)，所以說\(h(T)=-(-1)^k=(-1)^{k+1}\)
線性篩：記錄每個數的最小質因子的冪指數和最小值因子的指數次冪，判除掉最小質因子後最小值因子的冪指數是否相等（好像寫的很復雜的樣子。。。）

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 10000000;
int gi()
{
    int x=0,w=1;char ch=getchar();
    while ((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-') ch=getchar();
    if (ch=='-') w=0,ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return w?x:-x;
}
int pri[N>>2],tot,zhi[N+5],a[N+5],low[N+5],h[N+5];
void Sieve()
{
    zhi[1]=1;
    for (int i=2;i<=N;i++)
    {
        if (!zhi[i]) low[i]=pri[++tot]=i,a[i]=h[i]=1;
        for (int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;j++)
        {
            zhi[i*pri[j]]=1;
            if (i%pri[j]==0)
            {
                a[i*pri[j]]=a[i]+1;
                low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
                if (i==low[i])
                    h[i*pri[j]]=1;
                else h[i*pri[j]]=(a[i/low[i]]==a[i*pri[j]])?-h[i/low[i]]:0;
                break;
            }
            a[i*pri[j]]=1;
            low[i*pri[j]]=pri[j];
            h[i*pri[j]]=(a[i]==1)?-h[i]:0;
        }
    }
    for (int i=1;i<=N;i++) h[i]+=h[i-1];
}
int main()
{
    Sieve();
    int T=gi();
    while (T--)
    {
        int n=gi(),m=gi();
        if (n>m) swap(n,m);
        int i=1;long long ans=0;
        while (i<=n)
        {
            int j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=1ll*(n/i)*(m/i)*(h[j]-h[i-1]);
            i=j+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

[BZOJ3309]DZY Loves Math