【BZOJ3309】DZY Loves Math

Description

對於正整數\(n\)，定義\(f(n)\)為\(n\)所含質因子的最大冪指數。例如\(f(1960)=f(2^3×5^1×7^2)=3\),\(f(10007)=1\),\(f(1)=0\)。

給定正整數\(a,b\)，求\(\sum\limits_{a_i=1}\sum\limits_{b_j=1}f(\gcd(i,j))\)。

Input

第一行一個數\(T\)，表示詢問數。

接下來\(T\)行，每行兩個數\(a,b\)，表示一個詢問。

Output

對於每一個詢問，輸出一行一個非負整數作為回答。

HINT

\(T≤10000\)
\(1≤a,b≤10^7\)

推式子可以得到

\[\sum_{T=1}^{\min(a,b)}\lfloor\frac{a}{T}\rfloor\lfloor\frac{b}{T}\rfloor\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})\]

設\(g(T)=\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac{T}{d})\)，想一下卷積發現沒啥用，然後我就放棄了。

浪費了一次打表的大好機會...打表可以發現\(g\)只有\(01\)兩種值，但是沒什麽顯然的性質，於是我們可以暴力按意義分類討論取\(0\)或者\(1\)

然後我們討論一下，設\(p\)代表質數

• \(g(p)=1\)

• 然後在計算式中令\(\frac{T}{d}\)

  的冪全為\(0\)或\(1\)，這樣\(\mu\)才能產生貢獻。

  這樣的話可以發現\(f(d)\)只有兩種取值\(f(T)\)與\(f(T-1)\)，暴力討論這兩種取值。

  可以得到式子\(g(T)=-\sum_{d|x\&\&f(d)\not=f(x)}\mu(\frac{x}{d})\)

  然後繼續討論可能取的\(01\)情況，發現如果冪全相等，可以取\((-1)^{k+1}\)，\(k\)為約數個數

  否則就取\(0\)

  線篩的時候維護一下最小質因子的冪數和最小質因子的冪

Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=1e7;
using std::min;
int pri[N+10],ispri[N+10],a[N+10],b[N+10],cnt;
ll f[N+10],ans,n,m;
void init()
{
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        if(!ispri[i])
        {
            b[i]=pri[++cnt]=i;
            f[i]=a[i]=1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=N;j++)
        {
            ispri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0)
            {
                a[i*pri[j]]=a[i]+1;
                b[i*pri[j]]=b[i]*pri[j];
                if(i==b[i]) f[i*pri[j]]=1;
                else f[i*pri[j]]=a[i/b[i]]==a[i]+1?-f[i/b[i]]:0;
                break;
            }
            else
            {
                a[i*pri[j]]=1,b[i*pri[j]]=pri[j];
                f[i*pri[j]]=a[i]==1?-f[i]:0;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i]+=f[i-1];
}
int main()
{
    init();int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        ans=0;
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        for(ll l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),(m/(m/l)));
            ans+=(n/l)*(m/l)*(f[r]-f[l-1]);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}
 

2018.12.15

【BZOJ3309】DZY Loves Math 解題報告