BZOJ4017:小Q的無敵異或
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題意：有一個長度為 \(N\) 的數列，求其 \[\sum 所有子數列異或和\]
以及\[XORSUM \{子數列求和\}\]
\(1 \leq N \leq 10^5,元素 0 \leq A_i \leq 10^6\)
Solution
對於第一個子問題，按位計算貢獻，即計算ans能加多少個\(1 << k\)
首先我們計算一下前綴異或和
<font color=red,size=6>註：以下就以某一位來討論
我們維護兩個值，\(0\) 的個數以及 \(1\) 的個數
令當前已經計算了 \(k\) 個值的貢獻，要計算 \(k+1\) 的貢獻
如果 \(k+1\) 處前綴異或和這一位是 \(1\)
最後ans直接加上 \((1 << k)\times 貢獻值\) 即可
第一問就解決了，時間復雜度 \(O(nlog \ max\{A\})\)
第二個子問題：
答案是異或和，我們不妨按位來考慮，看什麽時候會使 \(ans\) 的某一位變成 \(1\)
顯然，由異或的性質可知，第 \(k\) 位 有奇數個 \(1\) 出現時，最終答案的第 \(k\) 位才為 \(1\)
形式化的，我們有
\[(sum(r)-sum(l-1)) mod 2^{k+1} \geq 2^k (r \geq l)\]
此時這題復雜度已經比純暴力好了非常多，對於每一個 \(r\) 統計出所有滿足上式的 \(l-1\) 的個數，但仍然很高
不過由上面的操作統計先前滿足條件的個數，想到可以使用樹狀數組或線段樹來維護， \(logn\) 查詢
上述式子可以進一步展開，
\[\begin{cases}{sum(l-1)mod2^{k+1}\leq sum(r) mod 2^{k+1}-2^k}\quad\quad(sum(r) mod 2^{k+1}\geq sum(l-1)mod2^{k+1})\\{sum(l-1)mod2^{k+1}\leq sum(r) mod 2^{k+1}+2^k}\quad\quad(sum(r) mod 2^{k+1} < sum(l-1)mod2^{k+1})\end{cases}\]
可以用樹狀數組分別查詢
代碼裏會看到查詢三個值，很詭異，原因見下圖
由之前推的兩個式子可知，兩條紅線之間夾的是不可取的地方，我們需要左右兩邊的值，如果用BIT存奇偶性，查找三個綠色處的前綴，異或起來就可以了(中間部分有兩遍異或，相當與不存在)
最後，每一位統計最終的奇偶性，若為奇數，則 \(ans|=(1 << k)\)
ps: \(\quad\) \(a\ mod \ 2^{k+1}\) 等價於 \(a \ \& \ (2^{k+1}-1)\) //二進制考慮一下
First Code(奇偶性):
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define MAXN 100010
#define MOD 998244353
using namespace std;
LL n;
LL sum[MAXN];
LL xsum[MAXN];
LL p[MAXN];
LL ans;
bool tree[MAXN];
int lowbit(int x){
return (x)&(-x);
}
void change(LL pos){
pos++;
if(pos==0)
return;
LL i;
for(i=pos;i<=n+1;i+=lowbit(i))
tree[i]^=1;
}
LL getnum(LL pos){
LL re=0;LL i;
pos++;
for(i=pos;i;i-=lowbit(i))
re^=tree[i];
return re;
}
LL getloc(LL x){
LL l=0,r=n;
LL ans=-1;
while(l<=r){
LL mid=(l+r)>>1;
if(p[mid]<=x){
l=mid+1;
ans=mid;
}
else
r=mid-1;
}
return ans;
}
void solve1(){
LL k;
LL i;
LL cnt[2];
for(k=0;k<=30;k++){
cnt[0]=cnt[1]=0;
LL tmp=0;
for(i=0;i<=n;i++){
bool tt=xsum[i]&(1<<k);
tmp+=cnt[tt^1];
cnt[tt]++;
}
ans += (1<<k) * tmp%MOD;
ans%=MOD;
}
printf("%lld ",ans);
}
void solve2(){
ans=0;
LL i,k;
for(k = 0;(1LL << k) <= sum[n];k++){
LL tmp=0;
for(i=0;i<=n;i++)
p[i] = sum[i] & ((1LL << (k+1)) - 1);
sort(p,p+n+1);
memset(tree,0,sizeof(tree));
for(i=0;i<=n;i++){
LL now = sum[i] & ((1LL << (k + 1)) - 1);
//printf("%lld %lld\n",now,getloc(now));
LL t1=getnum(getloc(now-(1LL<<k)));
LL t2=getnum(getloc(now+(1LL<<k)));
LL t3=getnum(getloc(now));
change(getloc(now));
//printf("--%lld %lld %lld\n",now-(1LL<<k),now+(1LL<<k),now);
//printf("::%lld %lld %lld\n",t1,t2,t3);
tmp^=t1^t2^t3;
}
if(tmp)
ans |= (1LL<<k);
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
LL i;
LL x;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&x);
xsum[i]=xsum[i-1]^x;
sum[i]=sum[i-1]+x;
}
solve1();
solve2();
return 0;
}Second Code(統計個數):
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define MAXN 100010
#define MOD 998244353
using namespace std;
LL n;
LL sum[MAXN];
LL xsum[MAXN];
LL p[MAXN];
LL ans;
int tree[MAXN];
int lowbit(int x){
return (x)&(-x);
}
void change(LL pos,int v){
pos++;
if(pos==0)
return;
LL i;
for(i=pos;i<=n+1;i+=lowbit(i))
tree[i]+=v;
}
LL getnum(LL pos){
LL re=0;LL i;
pos++;
for(i=pos;i;i-=lowbit(i))
re+=tree[i];
return re;
}
LL getloc(LL x){
LL l=0,r=n;
LL ans=-1;
while(l<=r){
LL mid=(l+r)>>1;
if(p[mid]<=x){
l=mid+1;
ans=mid;
}
else
r=mid-1;
}
return ans;
}
void solve1(){
LL k;
LL i;
LL cnt[2];
for(k=0;k<=30;k++){
cnt[0]=cnt[1]=0;
LL tmp=0;
for(i=0;i<=n;i++){
bool tt=xsum[i]&(1<<k);
tmp+=cnt[tt^1];
cnt[tt]++;
}
ans += (1<<k) * tmp%MOD;
ans%=MOD;
}
printf("%lld ",ans);
}
void solve2(){
ans=0;
LL i,k;
for(k = 0;(1LL << k) <= sum[n];k++){
LL tmp=0;
for(i=0;i<=n;i++)
p[i] = sum[i] & ((1LL << (k+1)) - 1);
sort(p,p+n+1);
memset(tree,0,sizeof(tree));
for(i=0;i<=n;i++){
LL now = sum[i] & ((1LL << (k + 1)) - 1);
change(getloc(now),1);
LL t1=getnum(getloc(now-(1LL<<k)));
LL t2=getnum(getloc(now+(1LL<<k)));
LL t3=getnum(getloc(now));
tmp+=t1+t2-t3;
}
if(tmp%2)
ans |= (1LL<<k);
}
printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
scanf("%lld",&n);
LL i;
LL x;
for(i=1;i<=n;i++){
scanf("%lld",&x);
xsum[i]=xsum[i-1]^x;
sum[i]=sum[i-1]+x;
}
solve1();
solve2();
return 0;
}BZOJ4017:小Q的無敵異或