luogu 1169 棋盤制作（單調棧/懸線）

國際象棋是世界上最古老的博弈遊戲之一，和中國的圍棋、象棋以及日本的將棋同享盛名。據說國際象棋起源於易經的思想，棋盤是一個8*8大小的黑白相間的方陣，對應八八六十四卦，黑白對應陰陽。而我們的主人公小Q，正是國際象棋的狂熱愛好者。作為一個頂尖高手，他已不滿足於普通的棋盤與規則，於是他跟他的好朋友小W決定將棋盤擴大以適應他們的新規則。小Q找到了一張由N*M個正方形的格子組成的矩形紙片，每個格子被塗有黑白兩種顏色之一。小Q想在這種紙中裁減一部分作為新棋盤，當然，他希望這個棋盤盡可能的大。不過小Q還沒有決定是找一個正方形的棋盤還是一個矩形的棋盤（當然，不管哪種，棋盤必須都黑白相間，即相鄰的格子不同色），所以他希望可以找到最大的正方形棋盤面積和最大的矩形棋盤面積，從而決定哪個更好一些。於是小Q找到了即將參加全國信息學競賽的你，你能幫助他麽？N, M ≤ 2000。

首先，一個是棋盤的矩陣，滿足相鄰兩個元素顏色不同。假設左上角的(1,1)是白色的格子。那麽易證，橫縱坐標之和是偶數的格子是白色的，是奇數的各自是黑色的。所以逆向思維，只要把給定的矩陣，橫縱坐標之和同模2的一種格子反色，問題就變成了求最大的同色矩陣和同色正方形。這是最大子矩陣問題。用單調棧可以做，不過比懸線法煩一些。下面我來介紹一下懸線法。

懸線就是一端貼著不可算入矩形的區域（墻壁）的線。首先，一個最大子矩陣中一定有懸線，不然這個矩陣是可以再擴張的。所以，我們只要枚舉所有懸線即可。首先n^2預處理出每個點向上向下能擴展的最大距離。然後從左向右，從右向左分別枚舉一遍所有懸線（橫向的），找出最大值即可。詳見代碼。

還有，個人感覺這種題目的思路很重要，就是把求最優解，轉化為求出每個元素作為基礎的最優值，然後取最優值中的最優值作為答案。

#include <cstdio>
using namespace std;

const int maxn=2005, INF=1e9;typedef int inta2[maxn][maxn];

int n, m, ans1, ans2, begin, minup, mindown;
inta2 a, up, down;

int max(int x, int y){ return x<y?y:x; }
int min(int x, int y){ return
 
 x<y?x:y; }
int sqr(int x){ return x*x; }

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i=1; i<=n; ++i) //轉換棋盤
        for (int j=1; j<=m; ++j){
            scanf("%d", &a[i][j]);
            if (i&1) a[i][j]^=1;
            if (!(j&1)) a[i][j]^=1;
        }
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        for (int j=1; j<=m; ++j)
            up[i][j]=(a[i][j]==a[i-1][j]?
                up[i-1][j]+1:1);
    for (int i=n; i>0; --i)
        for (int j=1; j<=m; ++j)
            down[i][j]=(a[i][j]==a[i+1][j]?
                down[i+1][j]+1:1);
    //懸線法
    for (int color=0; color<=1; ++color)
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        minup=mindown=INF; begin=1;
        for (int j=1; j<=m; ++j){
            if (a[i][j]!=color){
                minup=mindown=INF;
                begin=j+1; continue;
            }
            minup=min(minup, up[i][j]);
            mindown=min(mindown, down[i][j]);
            ans1=max(ans1, (minup+mindown-1)*(j-begin+1));
            ans2=max(ans2, sqr(min(minup+mindown-1, j-begin+1)));
        }
        minup=mindown=INF; begin=m;
        for (int j=m; j>0; --j){
            if (a[i][j]!=color){
                minup=mindown=INF;
                begin=j-1; continue;
            }
            minup=min(minup, up[i][j]);
            mindown=min(mindown, down[i][j]);
            ans1=max(ans1, (minup+mindown-1)*(begin-j+1));
            ans2=max(ans2, sqr(min(minup+mindown-1, begin-j+1)));
        }
    }
    printf("%d\n%d", ans2, ans1);
    return 0;
}

luogu 1169 棋盤制作（單調棧/懸線）