1.從方差代價函數說起（Quadratic cost）

代價函數經常用方差代價函數（即采用均方誤差MSE），比如對於一個神經元（單輸入單輸出，sigmoid函數）,定義其代價函數為：

其中y是我們期望的輸出，a為神經元的實際輸出【 a=σ(z), where z=wx+b 】。

在訓練神經網絡過程中，我們通過梯度下降算法來更新w和b，因此需要計算代價函數對w和b的導數：

然後更新w、b：

w <—— w - η* ?C/?w = w - η * a *σ′(z)

b <—— b - η* ?C/?b = b - η * a * σ′(z)

因為sigmoid函數的性質，導致σ′(z)在z取大部分值時會很小（如下圖標出來的兩端，幾近於平坦），這樣會使得w和b更新非常慢（因為η * a * σ′(z)這一項接近於0）。

2.交叉熵代價函數（cross-entropy cost function）

為了克服這個缺點，引入了交叉熵代價函數（下面的公式對應一個神經元，多輸入單輸出）：

其中y為期望的輸出，a為神經元實際輸出【a=σ(z), where z=∑Wj*Xj+b】

與方差代價函數一樣，交叉熵代價函數同樣有兩個性質：

• 非負性。（所以我們的目標就是最小化代價函數）
• 當真實輸出a與期望輸出y接近的時候，代價函數接近於0.(比如y=0，a～0；y=1，a~1時，代價函數都接近0)。

另外，它可以克服方差代價函數更新權重過慢的問題。我們同樣看看它的導數：

可以看到，導數中沒有σ′(z)這一項，權重的更新是受σ(z)?y這一項影響，即受誤差的影響。所以當誤差大的時候，權重更新就快，當誤差小的時候，權重的更新就慢。這是一個很好的性質。

以上說的是單層的，如果多層：

3.總結

• cross-entropy cost幾乎總是比quadratic cost函數好

• 如果神經元的方程式現行的，用哪個quadratic函數（不會有學習慢的問題）
• 當我們用sigmoid函數作為神經元的激活函數時，最好使用交叉熵代價函數來替代方差代價函數，以避免訓練過程太慢。

• 不過，你也許會問，為什麽是交叉熵函數？導數中不帶σ′(z)項的函數有無數種，怎麽就想到用交叉熵函數？這自然是有來頭的，更深入的討論就不寫了，少年請自行了解。

• 另外，交叉熵函數的形式是?[ylna+(1?y)ln(1?a)]而不是 ?[alny+(1?a)ln(1?y)]，為什麽？因為當期望輸出的y=0時，lny沒有意義；當期望y=1時，ln(1-y)沒有意義。而因為a是sigmoid函數的實際輸出，永遠不會等於0或1，只會無限接近於0或者1，因此不存在這個問題。

4.還要說說：log-likelihood cost

對數似然函數也常用來作為softmax回歸的代價函數，在上面的討論中，我們最後一層（也就是輸出）是通過sigmoid函數，因此采用了交叉熵代價函數。而深度學習中更普遍的做法是將softmax作為最後一層，此時常用的是代價函數是log-likelihood cost。

In fact, it’s useful to think of a softmax output layer with log-likelihood cost as being quite similar to a sigmoid output layer with cross-entropy cost。

其實這兩者是一致的，logistic回歸用的就是sigmoid函數，softmax回歸是logistic回歸的多類別推廣。log-likelihood代價函數在二類別時就可以化簡為交叉熵代價函數的形式。

利用cross-entropy cost代替quadratic cost來獲得更好的收斂