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利用方程組係數向量是否共面來判斷解的唯一性

阿新 • • 發佈：2018-11-25
判斷一個方程組是否有唯一解，可以通過判斷這個方程組的係數向量是否共面來判斷解的唯一性，一般有如下的規律：
  1. 如果係數向量不共面，即每個向量是線性無關的，那麼此方程組一定有唯一解。（物理意義為：如果係數向量都不相關，那麼此空間中的任何向量都可以由這些係數向量（即可以理解為此空間的基）唯一的線性表示）。
  2. 如果係數向量共面，即有些向量是相關的，那麼說明有些向量是可以由剩下的向量來線性表示，這種情況說明這些係數向量不能夠對此空間中的所有向量進行表示，只能表示它們共面空間中的向量（可以利用三維的場景思考：例如下面的三元一次方程組 a1x+b1y+c1z=n1
             a2x+b2y+c2z=n2               a3x+b3y+c3z=n3          如果係數向量 {a1,a2,a3}, {b1,b2,b3}, {c1,c2,c3} 是線性相關的，那麼它們只能表示某一個平面內的點的集合或者說某一平面內的向量）那麼這種情況下說明什麼呢？說明：如果要表出的向量{n1,n2,n3}在這個平面內的話，將會有無窮多的解，而如果要表出的向量不在這個平面內的話，則沒有解）

 上面可能有個疑惑： 就是怎麼判斷這些係數向量共不共面呢？答案：那就是判斷 係數向量 {a1,a2,a3}, {b1,b2,b3}, {c1,c2,c3}   構成的齊次線性方程組的行變換是不是滿秩的。如果滿秩則說明只有唯一解，即不共面就有唯一解，否則有無窮多解或者無解。 以上純屬個人理解，如有不對的地方還請指正，旨在希望能夠幫助更多人！！

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