動態規劃 - 矩陣鏈乘法
前言：今天接著學習動態規劃算法，學習如何用動態規劃來分析解決矩陣鏈乘問題。首先回顧一下矩陣乘法運算法，並給出C++語言實現過程。然後采用動態規劃算法分析矩陣鏈乘問題並給出C語言實現過程。
1、矩陣乘法
從定義可以看出：只有當矩陣A的列數與矩陣B的行數相等時A×B才有意義。一個m×r的矩陣A左乘一個r×n的矩陣B，會得到一個m×n的矩陣C。在計算機中，一個矩陣說穿了就是一個二維數組。一個m行r列的矩陣可以乘以一個r行n列的矩陣，得到的結果是一個m行n列的矩陣，其中的第i行第j列位置上的數等於前一個矩陣第i行上的r個數與後一個矩陣第j列上的r個數對應相乘後所有r個乘積的和。采用C++語言實現完整的兩個矩陣乘法，程序如下所示：
#include<iostream>
#include<cstdlib>
using namespace std;
#define A_ROWS 3
#define A_COLUMNS 2
#define B_ROWS 2
#define B_COLUMNS 3
void matrix_multiply(int A[A_ROWS][A_COLUMNS],int B[B_ROWS][B_COLUMNS],int C[A_ROWS][B_COLUMNS])
{
if(A_COLUMNS!=B_ROWS)
{
cout<<"incompatible dimensions"<<endl;
exit(1);
}
int i,j,k;
for(i=0;i<A_ROWS;i++)
for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)
{
C[i][j]=0;
for(k=0;k<A_COLUMNS;k++)
C[i][j]+=A[i][k]*B[k][j];
}
}
int main()
{
int C[A_ROWS][B_COLUMNS];
int A[A_ROWS][A_COLUMNS]={{1,2},{3,4},{5,6}};
int B[B_ROWS][B_COLUMNS]={1,2,3,4,5,6};
matrix_multiply(A,B,C);
int i,j;
for(i=0;i<A_ROWS;i++)
{
for(j=0;j<B_COLUMNS;j++)
cout<<C[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
}
2、矩陣鏈乘問題描述
給定n個矩陣構成的一個鏈<A1,A2,A3,.......An>，其中i=1,2,...n，矩陣A的維數為pi-1pi，對乘積 A1A2...An 以一種最小化標量乘法次數的方式進行加全部括號。
註意：在矩陣鏈乘問題中，實際上並沒有把矩陣相乘，目的是確定一個具有最小代價的矩陣相乘順序。找出這樣一個結合順序使得相乘的代價最低。
3、動態規劃分析過程
1）最優加全部括號的結構
動態規劃第一步是尋找一個最優的子結構。假設現在要計算AiAi+1....Aj的值，計算Ai...j過程當中肯定會存在某個k值（i<=k<j）將Ai...j分成兩部分，使得Ai...j
有分析可以到最優子結構為：假設AiAi+1....Aj的一個最優加全括號把乘積在Ak和Ak+1之間分開，則Ai..k和Ak+1..j也都是最優加全括號的。
2）一個遞歸解
設m[i,j]為計算機矩陣Ai...j所需的標量乘法運算次數的最小值，對此計算A1..n的最小代價就是m[1,n]。現在需要來遞歸定義m[i,j]，分兩種情況進行討論如下：
當i==j時：m[i,j] = 0，（此時只包含一個矩陣）
當i<j 時：從步驟1中需要尋找一個k（i≤k＜j）值，使得m[i,j] ＝min{m[i,k]+m[k+1,j]+pi-1
3）計算最優代價
雖然給出了遞歸解的過程，但是在實現的時候不采用遞歸實現，而是借助輔助空間，使用自底向上的表格進行實現。設矩陣Ai的維數為pi-1pi，i=1,2.....n。輸入序列為：p=<p0，p1,...pn>，length[p] = n+1。使用m[n][n]保存m[i,j]的代價，s[n][n]保存計算m[i,j]時取得最優代價處k的值，最後可以用s中的記錄構造一個最優解。書中給出了計算過程的偽代碼，摘錄如下：
MAXTRIX_CHAIN_ORDER(p)
n = length[p]-1;
for i=1 to n
do m[i][i] = 0;
for t = 2 to n //t is the chain length
do for i=1 to n-t+1
j=i+t-1;
m[i][j] = MAXLIMIT;
for k=i to j-1
q = m[i][k] + m[k+1][i] + qi-1qkqj;
if q < m[i][j]
then m[i][j] = q;
s[i][j] = k;
return m and s;
C++代碼：
#include<iostream>
using namespace std;
#define N 6
#define MAXVALUE 100000000
void matrix_chain_order(int *p,int m[N+1][N+1],int s[N+1][N+1])
{
int i,j,l,k;
for(i=1;i<=N;i++)
m[i][i]=0;
for(l=2;l<=N;l++)
{
for(i=1;i<=N-l+1;i++)
{
j=i+l-1;
m[i][j]=MAXVALUE;
for(k=i;k<=j-1;k++)
{
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp<m[i][j])
{
m[i][j]=temp;
s[i][j]=k;
}
}
}
}
}
void print_optimal_parens(int s[N+1][N+1],int i,int j)
{
if(i==j)
cout<<"A"<<i;
else
{
cout<<"(";
print_optimal_parens(s,i,s[i][j]);
print_optimal_parens(s,s[i][j]+1,j);
cout<<")";
}
}
int main()
{
int p[N+1] = {30,35,15,5,10,20,25};
int m[N+1][N+1]={0};
int s[N+1][N+1]={0};
int i,j;
matrix_chain_order(p,m,s);
cout<<"m value is: "<<endl;
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=1;j<=N;++j)
cout<<m[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"s value is: "<<endl;
for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=1;j<=N;++j)
cout<<s[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}
cout<<"The result is:"<<endl;
print_optimal_parens(s,1,N);
return 0;
}
動態規劃 - 矩陣鏈乘法