一、概述

        以兩個矩陣相乘為例，A1*A2，A1和A2為兩個矩陣，假設A1的行列數是p*q，A2的行列數是q*r。注意這裡由於是A1乘以A2，所以A1的列數要等於A2的行數，否則無法做矩陣乘法，滿足上述條件的矩陣，我們稱之為“相容”的。那麼對於A1*A2而言，我們需要分別執行p*r次對應A1的行元素乘以A2的列元素，根據線性代數知識，不難得出我們一共需要執行p*q*r次乘法。

        對於兩個矩陣相乘，一旦矩陣的大小確定下來了，那麼所需執行的乘法次數就確定下來了。那麼對於兩個以上的矩陣呢？是不是也是這樣呢。實際上，對於多個矩陣相乘，乘法執行的次數與“劃分”有關。例如：

        以矩陣鏈<A1,A2,A3>為例，假設三個矩陣的規模分別為10X100，100X5和5X50。

        ①以((A1*A2)*A3)方式劃分，乘法執行次數為：10*100*5+10*5*50=5000+2500=7500次

        ②以(A1*(A2*A3))方式劃分，乘法執行次數為：100*5*50+10*100*50=25000+50000=75000次

        我們可以發現，對於同樣的矩陣鏈<A1,A2,A3>相乘而言，不同的劃分，乘法次數居然相差10倍。

二、如何獲得最佳的矩陣鏈乘法劃分和最少次數

        其實這裡與“鋼管切割”有相似之處，在鋼管切割問題中，我們使用一個一維陣列來儲存最佳收入，另一個一維陣列來儲存切割的劃分處。

        而這裡，我們也可以將矩陣鏈看成一根要分割的“鋼管”，只是這裡記錄的兩個陣列需要是二維的，因為我們需要記錄的不僅是從哪裡“斷開”，還需要記錄"每一段"到哪裡截止。如下圖：

       使用一個長度為n+1的一維陣列p來記錄每個矩陣的規模，其中n為矩陣下標i的範圍1~n，例如對於矩陣Ai而言，它的規模應該是p[i-1]到p[i]。由於i是從1到n取值，所以陣列p的下標是從0到n。

       用於儲存最少乘法執行次數和最佳分段方式的結構是兩個二維陣列m和s，都是從1~n取值。m[i][j]記錄矩陣鏈<Ai,Ai+1,...,Aj>的最少乘法執行次數，而s[i][j]則記錄 最優質m[i][j]的分割點k。

       需要注意的一點是當i=j時，m[i][j]=m[i][i]=0，因為一個矩陣不需要任何乘法。

       假設矩陣鏈從Ai到Aj，有j-i+1個矩陣，我們從k處分開，將矩陣鏈分為Ai~Ak和Ak+1到Aj兩塊，那麼我們可以比較容易的給出m[i][j]從k處分隔的公式：

       m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]；

       在一組確定的i和j值的情況下，要使m[i][j]的值最小，我們只要在所有的k取值中，i<=k<j，尋找一個讓m[i][j]最小的值即可。

       假設L為矩陣鏈的長度，那麼L=j-i+1。當L=1時，只有一個矩陣，不需要計算。那麼我們可以從L=2到n進行迴圈，對每個合理的i和j值的組合，遍歷所有k值對應的m[i][j]值，將最小的一個記錄下來，儲存到m[i][j]中，並將對應的k儲存到s[i][j]中，就得到了我們想要的結果。

根據上面的分析，不難給出過程的程式碼，注意這裡也是使用的自底向上的方法，參看“鋼管切割”：

//Ai矩陣的行列分別是p[i-1]和p[i],1<=i<=n
 
/*
 * 求解最少次數的乘法括號劃分方案
 */
void Matrix_Chain(int* p, int n, int** m, int** s) {
 
	//①將對角線上的值先賦值為0
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		m[i][i] = 0;
	}
 
	int l = 0; //l為矩陣鏈的長度
 
	//m[i][j]的第一個引數
		int i = 0;
 
	//m[i][j]的第二個引數
	int j = 0;
 
 
 
	int tmp = 0;
 
	//②以長度L為劃分，L從2開始到n
	for (l = 2; l <= n; l++) {
 
		//迴圈第一個引數，因為l的長度至少為2，所以i和j在這個迴圈裡面肯定不相等
		for (i = 1; i <= n - l + 1; i++) {
			//因為j-i+1=l，所以j=l+i-1
			j = i + l - 1;
 
			//給m[i][j]賦初值，這裡要尋找m[i][j]的最小值，本來應當給m[i][j]賦值一個正無窮，但是這裡直接賦一個i=j時候的特值也可以
			m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];
			s[i][j] = i;
 
			//對於每個特定的i和j的組合，遍歷此時所有的合適k值，k大於等於i小於j
			for (int k = i + 1; k < j; k++) { //這裡k不能等於j，因為後面要m[k+1][j]，不然k+1就比j大了
 
				tmp = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];
 
				if (tmp < m[i][j]) {
					m[i][j] = tmp;
					s[i][j] = k;
				}
			}
		}
	}
}

上面的程式碼，我們就求得了每種i和j組合對應的最小乘法次數和對應的最佳分割處s[i][j]。

三、輸出最優構造劃分:

       經過執行上面的程式碼，我們就準備好了s[i][j]，其中包含最佳分割資訊。我們可以使用一種類似於中序遍歷的方法來輸出劃分方式，比如對<A1,A2,A3,A4,A5>和他們對應的下標陣列p而言。

void print_optimal_parens(int** s, int i, int j) {
	if (i == j) {
		cout << "A" << i;
	} else {
		cout << "(";
		print_optimal_parens(s, i, s[i][j]);
		print_optimal_parens(s, s[i][j] + 1, j);
		cout << ")";
	}
}

比如對於陣列p={5,6,2,9,7,6}和<A1,A2,A3,A4,A5>經過上面兩段程式碼的呼叫，輸出劃分結果：

((A1A2)((A3A4)A5))

最少乘法次數為：330次

備註：

動態規劃是一種將問題例項分解為更小的、相似的子問題，並存儲子問題的解而避免計算重複的子問題，以解決最優化問題的演算法策略。

備忘錄法是動態規劃方法的變形。與動態規劃演算法不同的是，備忘錄方法的遞迴方式是自頂向下的，而動態規劃演算法則是自底向上的。

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