Matrix-chain multiplication

給定一串矩陣 A1,A2...An，計算矩陣的值：A1A2A3..An。對於這串矩陣序列，不同的加括號方式，會導致截然不同的計算量。我們需要做的就是計算出如何加括號，達到最少計算量。

使用動態規劃求解

first step: Characterize the structure of an optimal solution

數學定義：Ai..j : 矩陣乘—–AiAi+1⋅⋅Aj
存在k 使得i≤k<j
把Ai⋅⋅j 劃分為 Ai⋅⋅k 和A(k+1)⋅⋅j
假設此時的k正好為最優劃分，使得Ai⋅⋅j矩陣相乘的規模最小

反證： 如果此時k對原來矩陣序列的劃分不是最優的，則肯定存在另一個k，使得劃分為最優：與假設矛盾。

second step: Recursively define the value of an optimal solution

現在我們定義遞迴求解這個子問題：Ai⋅⋅j 為： 矩陣AiAi+1⋅⋅Aj (1≤i≤j≤n)

數學定義：M[i,j] = Ai⋅⋅j 的最小矩陣乘規模
定義陣列P，使得矩陣Ai的緯度為 = p[i−1]∗p[i]。p[i−1]代表矩陣的行， p[i]代表矩陣的列)
如圖1：

A3 的行下標為 p[2]=15 列下標為p[3]=5

• 當i

  =j : Ai⋅⋅j=Ai，單個矩陣，所以M[i,j]=0

• 當i<j : Ai⋅⋅j可分為Ai⋅⋅k的矩陣乘規模數加上Ak+1⋅⋅Aj的矩陣乘規模數，再加上兩個分矩陣的相乘規模數
  數學表示式為：M[i,j]=M[i,k]+M[k+1,j]+pi−1pkpj
  重點理解pi−1pkpj表達的意思：現在M[i,k]可理解為最終行下標為i，列下表為k的矩陣；M[k+1,j]可理解為最終行下標為k+1，列下表為j的矩陣;再把這兩個矩陣相乘，也就是等同於兩個矩陣相乘的規模數，再結合圖一，得出結果——pi−1pkpj

third step: Compute the value of an optimal solution

• 遞迴演算法：

matrix(p,i,j) {
  if i == j
     m[i,j] = 0
     retrun m[i,j]
  m[i,j] = 999999999999
  for k = i to j - 1
    temp = matrix(p,i,k) + matrix(p,k+1,j) + p[i-1]p[k]p[j]
    if temp < m[i,j]
      m[i,j] = temp
  return m[i,j]
}

下面看一個例子：對4個矩陣鏈的劃分
圖2：

- 動態規劃:自頂向下
基本思路為：用陣列儲存下計算了的值，這樣就避免了大量的重複計算。這也是動態規劃的精髓所在，以空間換時間。

s[m,n]代表Am··n最優劃分位置為s[m,n]，記錄下最優劃分的位置
memory-matrix(p) {
  n = p.length - 1
  let s[n,n] be a global array
  let m[n,n] be a new array
  for i = 1 to n
    for j = i to n
      m[i,j] = 999999999
  return look-chain(m,p,1,n)  
}

look-chain(m,p,i,j) {
  if m[i,j] < 9999999999
    return m[i,j]
  if i == j
    m[i,j] = 0
  else for k = i to j - 1
         q = look-chain(m,p,j,k) + matrix(m,p,k+1,j) +p[i-1]p[k]p[j]
         if(q < m[i,j])
           m[i,j] = q
           s[i,j] = k
  return m[i,j]
}

At last：Construct an optimal solution from computed information

遞迴輸出

printPartition(s,i,j) {
  if i == j
    print "Ai"
  else print "("
    printPartition(s,i,s[i,j])
    printPartition(s,s[i,j]+1,j)
    print")"
}