題目

在數軸上有 n個閉區間 [l1,r1],[l2,r2],...,[ln,rn]。現在要從中選出 m 個區間，使得這 m個區間共同包含至少一個位置。換句話說，就是使得存在一個 x，使得對於每一個被選中的區間 [li,ri]，都有 li≤x≤ri。
對於一個合法的選取方案，它的花費為被選中的最長區間長度減去被選中的最短區間長度。區間 [li,ri] 的長度定義為 ri?li，即等於它的右端點的值減去左端點的值。
求所有合法方案中最小的花費。如果不存在合法的方案，輸出 ?1。

輸入格式

第一行包含兩個正整數 n,m用空格隔開，意義如上文所述。保證 1≤m≤n
接下來 n行，每行表示一個區間，包含用空格隔開的兩個整數 li 和 ri 為該區間的左右端點。
N<=500000,M<=200000,0≤li≤ri≤10^9

輸出格式

只有一行，包含一個正整數，即最小花費。

輸入樣例

6 3

3 5

1 2

3 4

2 2

1 5

1 4

輸出樣例

2

題解

比較容易想到，如果我們對所選的區間都+1，那麽一定存在某個位置的值>=m
先對區間離散化
這樣我們可以得到一個\(O(n^3)\)的算法

區間修改求最值，離散化後用線段樹優化，可以做到\(O(n^2logn)\)

為了進一步減小一個n，我們將區間按區間長度排序
從小開始逐個加入線段樹中，直到出現>=m的位置，再嘗試從小開始從線段樹中刪除，直至滿足>=m時再移動右端點

可以證明這樣做的正確性
因為區間過多不影響存在某位置>=m，通過不斷移動右端點，有解一定可以判出
設當前解為len，如果不移動左端點，右端點移動的結果一定不會比len要小
所以在滿足條件的情況下應盡量移動左端點
\(O(nlogn)\)

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<‘ ‘; puts("");
 

#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
using namespace std;
const int maxn = 1000005,maxm = 500005,INF = 1000000000;
inline int read(){
    int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
    while (c < 48 || c > 57) {if (c == ‘-‘) flag = -1; c = getchar();}
    while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 3) + (out << 1) + c - ‘0‘; c = getchar();}
    return out * flag;
}
struct node{int l,r;}e[maxm];
int b[maxn],bi,tot = 1,n,m,ans = INF;
int mx[4 * maxn],tag[4 * maxn];
inline bool operator <(const node& a,const node& x){
    return (b[a.r] - b[a.l]) < (b[x.r] - b[x.l]);
}
int getn(int x){return lower_bound(b + 1,b + 1 + tot,x) - b;}
void pd(int u){
    if (tag[u]){
        mx[ls] += tag[u]; mx[rs] += tag[u];
        tag[ls] += tag[u]; tag[rs] += tag[u];
        tag[u] = 0;
    }
}
void modify(int u,int l,int r,int L,int R,int x){
    if (l >= L && r <= R){
        mx[u] += x; tag[u] += x;
        return;
    }
    pd(u);
    int mid = l + r >> 1;
    if (mid >= L) modify(ls,l,mid,L,R,x);
    if (mid < R) modify(rs,mid + 1,r,L,R,x);
    mx[u] = max(mx[ls],mx[rs]);
}
int main(){
    n = read(); m = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        b[++bi] = e[i].l = read(),b[++bi] = e[i].r = read();
    sort(b + 1,b + 1 + bi);
    for (int i = 2; i <= bi; i++) if (b[i] != b[tot]) b[++tot] = b[i];
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        e[i].l = getn(e[i].l),e[i].r = getn(e[i].r);
    sort(e + 1,e + 1 + n);
    modify(1,1,tot,e[1].l,e[1].r,1);
    int l = 1,r = 1,L,R;
    L = R = b[e[1].r] - b[e[1].l];
    if (mx[1] >= m) ans = min(ans,R - L);
    while (r <= n){
        while (mx[1] >= m && l < r){
            modify(1,1,tot,e[l].l,e[l].r,-1);
            l++;
            L = b[e[l].r] - b[e[l].l];
            if (mx[1] >= m) ans = min(ans,R - L);
        }
        r++;
        if (r > n) break;
        R = b[e[r].r] - b[e[r].l];
        modify(1,1,tot,e[r].l,e[r].r,1);
        if (mx[1] >= m) ans = min(ans,R - L);
    }
    printf("%d\n",ans == INF ? -1 : ans);
    return 0;
}

NOI2016 區間 【線段樹】