Hulu機器學習問題與解答系列 | 十九：主題模型
今天的內容是
【主題模型】
場景描述
基於Bag-Of-Words（或N-gram）的文本表示模型有一個明顯的缺陷，就是無法識別出不同的詞（或詞組）具有相同主題的情況。我們需要一種技術能夠將具有相同主題的詞（或詞組）映射到同一維度上去，於是產生了主題模型(Topic Model)。主題模型是一種特殊的概率圖模型。想象一下我們如何判定兩個不同的詞具有相同的主題呢？這兩個詞可能有更高的概率出現在同一主題的文檔中；換句話說，給定某一主題，這兩個詞的產生概率都是比較高的，而另一些不太相關的詞產生的概率則是較低的。假設有K個主題，我們可以把任意文章表示成一個K維的主題向量，其中向量的每一維代表一個主題，權重代表這篇文章屬於該主題的概率。主題模型所解決的事情，就是從語料庫中發現有代表性的主題（得到每個主題上面詞的分布），並且計算出每篇文章對應著哪些主題。這樣具有相似主題的文章擁有相似的主題向量表示，從而能夠更好地表示文章的語義，提高文本分類、信息檢索等應用的效果。
問題描述
1. 常見的主題模型有哪些？試介紹其原理。
2. 如何確定LDA模型中的主題個數?
解答與分析
1. 常見的主題模型有哪些？試介紹其原理。
常用的主題模型當屬pLSA和LDA，下面分別介紹其原理：
(1) pLSA
pLSA(probabilistic Latent Semantic Analysis) [1]用一個生成模型來建模文章的生成過程。假設有K個主題，M篇文章；對語料庫中的任意文章d, 假設該文章有N個詞，則對於其中的每一個詞, 我們首先選擇一個主題z, 然後在當前主題的基礎上生成一個詞w。這一過程表示成圖模型(Graphical Model)如下圖所示：
生成主題z和詞w的過程遵照一個確定的概率分布。設在文章d中生成主題z的概率為p(z|d), 在選定主題的條件下生成詞w的概率為p(w|z)，則給定文章d，生成詞w的概率可以寫成：
在這裏我們做一個簡化，假設給定主題z的條件下，生成詞w的概率是與特定的文章無關的，則公式可以簡化為：
整個語料庫中的文本生成概率可以用以下公式表示，我們稱之為似然函數（Likelihood Function）：
其中p(dm, wn)是在第m篇文章中，第n個單詞為wn的概率，與上文中p(w|d)的含義是相同的，只是換了一種符號表達。n(dm, wn)表示單詞wn在文章dm中出現的次數。
於是，對數似然函數可以寫成：
在上面的公式中，定義在文章上的主題分布p(zk|dm)和定義在主題上的詞分布p(wn|zk)是待估計的參數 。我們需要找到最優的參數，使得整個語料庫的對數似然函數最大化。由於參數中包含的z
(2) LDA
LDA(Latent Dirichlet Allocation)[2]可以看作是pLSA的貝葉斯版本，其文本生成過程與pLSA基本相同，不同的是為主題分布和詞分布分別加了狄利克雷(Direchlet)先驗。為什麽要加入狄利克雷先驗呢？這就要從頻率學派和貝葉斯學派的區別說起。pLSA采用的是頻率派思想，將每篇文章對應的主題分布p(zk|dm)和每個主題對應的詞分布p(wn|zk)看成確定的未知常數，並可以求解出來；而LDA采用的是貝葉斯學派的思想，認為待估計的參數（主題分布和詞分布）不再是一個固定的常數，而是服從一定分布的隨機變量。這個分布符合一定的先驗概率分布（即Dirichlet分布），並且在觀察到樣本信息之後，可以對先驗分布進行修正，從而得到後驗分布。LDA之所以選擇Dirichlet分布做為先驗分布，是因為它為多項式分布的共軛先驗概率分布，後驗概率依然服從Dirichlet分布，這樣做可以為計算帶來便利。LDA的圖模型表示如下：
其中α，β分別為兩個Dirichlet分布的超參數，為人工設定。語料庫的生成過程如下。
對文本庫中的每一篇文檔dm：
這裏主題分布θm以及詞分布
是待估計的參數，可以用吉布斯采樣（Gibbs Sampling）[4]求解其期望。具體做法為，首先隨機給定每個詞的主題，然後在其它變量固定的情況下，根據轉移概率抽樣生成每個詞的新主題。對於每個詞來說，轉移概率可以理解為：給定文章中的所有詞以及除自身以外其它所有詞的主題，在此條件下該詞對應各個新主題的概率。最後，經過反復叠代，我們可以根據收斂後的采樣結果計算主題分布和詞分布的期望。
2. 如何確定LDA模型中的主題個數?
在LDA中，主題的個數K是一個預先指定的超參數。對於模型超參數的選擇，實踐中的做法一般是將全部數據集分成訓練集、驗證集、和測試集3部分，然後利用驗證集對超參數進行選擇。例如，在確定LDA的主題個數時，我們可以隨機選取60%的文檔組成訓練集，另外20%的文檔組成驗證集，剩下20%的文檔組成測試集。我們在訓練時嘗試多組超參數的取值，並在驗證集上檢驗哪一組超參數所對應的模型取得了最好的效果。最終，在驗證集上效果最好的一組超參數和其對應的模型將被選定，並在測試集上進行測試。
為了衡量LDA模型在驗證集和測試集上的效果，我們需要尋找一個合適的評估指標。一個常用的評估指標是困惑度（perplexity）。在文檔集合D上，模型的困惑度被定義為：
其中M為文檔的總數，wd為文檔d中單詞所組成的詞袋向量，p(wd)為模型所預測的文檔d的生成概率，Nd為文檔d中單詞的總數。
一開始，隨著主題個數的增多，模型在訓練集和驗證集的困惑度呈下降趨勢，但是當主題數目足夠大的時候，會出現過擬合，導致困惑度指標在訓練集上繼續下降但在驗證集上反而增長。這時，我們可以取困惑度極小值點所對應的主題個數作為超參數。實踐中，困惑度的極小值點可能出現在主題數目非常大的時候，然而實際應用並不能承受如此大的主題數目，這時就需要在實際應用中合理的主題數目範圍內進行選擇，比如選擇合理範圍內困惑度的下降明顯變慢（拐點）的時候。
另外一種方法是在LDA基礎之上融入分層狄利克雷過程（Hierarchical Dirichlet Process，HDP）[3]，構成一種非參數主題模型HDP-LDA。非參數主題模型的好處是不需要預先指定主題的個數，模型可以隨著文檔數目的變化而自動對主題個數進行調整；它的缺點是在LDA基礎上融入HDP之後使得整個概率圖模型更加復雜， 訓練速度也更加緩慢，因此在實際應用中還是經常采用第一種方法確定合適的主題數目。
參考文獻：
[1] Hofmann, Thomas. "Probabilistic latent semantic analysis." Proceedings of the Fifteenth conference on Uncertainty in artificial intelligence. Morgan Kaufmann Publishers Inc., 1999.
[2] Blei, David M., Andrew Y. Ng, and Michael I. Jordan. "Latent dirichlet allocation." Journal of machine Learning research3.Jan (2003): 993-1022.
[3] Teh, Yee W., et al. "Sharing clusters among related groups: Hierarchical Dirichlet processes." Advances in neural information processing systems. 2005.
[4] George, Edward I., and Robert E. McCulloch. "Variable selection via Gibbs sampling." Journal of the American Statistical Association 88.423 (1993): 881-889.
下一題預告
【PCA算法（續集）】
場景描述
經歷了強化學習、深度學習、集成學習一輪輪面試題的洗禮，我們是否還記得心底對宇宙，對世界本源的敬畏與探索之心？時間回溯到40多天前，我們曾經從宇宙空間出發，討論維度，從維度引到機器學習，由PCA探尋降維之道，傳送門：Hulu機器學習與問答系列第六彈 PCA算法。彼日，我們從最大方差的角度解釋了PCA的原理、目標函數和求解方法。今夕，我們將從最小平方誤差之路，再次通向PCA思想之核心。
問題描述
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