【題目】GCD of Divisors

【題意】給定f(n)=Σ_d|n gcd(d,n/d)的前綴和F(n)，n=10^15。

【算法】莫比烏斯反演

【題解】參考：任之洲數論函數.pdf

這個範圍顯然杜教篩也是做不了的，而且考慮直接化簡f(n)也遇到了困難，所以考慮將前綴和的Σ一起化簡。

$$F(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}(d,\frac{i}{d})$$

這一步很常見的是第一重改為枚舉倍數，但這樣化簡後面就推不下去了。

這道題必須最後轉成$\sigma_0(n)$才能解出來。

所以直接枚舉gcd值

$$F(n)=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{g|i}[(g,\frac{i}{g})=d]$$

這裏gcd(g,i/g)=d，說明i中必須至少包含2個d，那麽令i=i/d^2，g即可任取i的因子，最終的g和i/g各乘d即可，所以可以進行如下化簡。（關鍵①）

$$F(n)=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d^2}}\sum_{g|i}[(g,\frac{i}{g})=1]$$

轉化成φ希望不大，所以直接莫比烏斯反演。

$$F(n)=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\frac{n}{d^2}}\sum_{g|i}\sum_{d‘|g \cap d‘|\frac{i}{g}}\mu(d‘)$$

$$F(n)=\sum_{d=1}^{n}\sum_{d‘=1}^{n}d*\mu(d‘)\sum_{i=1}^{\frac{n}{d^2}}\sum_{g|i}[d‘|g \cap d‘|\frac{i}{g}]$$

這裏和上面一樣，都是要求d‘|g&&d‘|i/g，因此從i中提取2個d‘，即令i=i/d‘^2。

$$F(n)=\sum_{d=1}^{n}\sum_{d‘=1}^{n}d*\mu(d‘)\sum_{i=1}^{\frac{n}{(dd‘)^2}}\sum_{g|i}1$$

會發現後面是約數個數。（關鍵②）

$$F(n)=\sum_{d=1}^{n}\sum_{d‘=1}^{n}d*\mu(d‘)\sum_{i=1}^{\frac{n}{(dd‘)^2}}\sigma_0(i)$$

前面部分發現d*μ(d‘)好像可以卷積到φ，考慮合並dd‘來構造卷積，令d=dd‘。（關鍵③）

$$F(n)=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\sum_{g|d}g*\mu(\frac{n}{g})\sum_{i=1}^{\frac{n}{(dd‘)^2}}\sigma_0(i)$$

這裏d只枚舉到√n，因為d>√n時後面的Σ=0，沒有貢獻。

然後根據狄利克雷卷積μ*id=φ可以化簡

$$F(n)=\sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\varphi(d)\sum_{i=1}^{\frac{n}{(dd‘)^2}}\sigma_0(i)$$

大功告成！

其中，約數個數的前綴和可以進行分塊取值優化，如下

$$\sum_{i=1}^{n}\sigma_0(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}1=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{\frac{n}{i}}1$$

$$\sum_{i=1}^{n}\sigma_0(i)=\sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$$

然後線性篩φ的過程中求解即可。

復雜度分析：

$$\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}O(\sqrt{\frac{n}{i^2}})=\sum_{i=1}^{\sqrt{n}}O(\frac{\sqrt{n}}{i})=O(\sqrt{n} ln \sqrt{n})$$

倒數第二步將√n提到最外面，Σ內就是調和數列，和近似為ln n。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int long long
const int maxn=32000000;
int phi[maxn],n,prime[maxn],tot;
int solve(int n){
    int pos,sum=0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1){
        pos=n/(n/i);
        sum+=(pos-i+1)*(n/i);
    }
    return sum;
}
#undef int
int main(){
#define int long long
    scanf("%lld",&n);
    int ans=1*solve(n),N=(int)sqrt(n)+1;phi[1]=1;//1
    for(int i=2;i<=N;i++){
        if(!phi[i])phi[prime[++tot]=i]=i-1;
        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++){
            if(i%prime[j]==0){phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
        ans+=phi[i]*solve(n/(i*i));
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

【Project Euler】530 GCD of Divisors 莫比烏斯反演