序：最近被反演虐的不要不要的，遂決定寫一篇博文，防止以後自己翻車……

1.定義

　　莫比烏斯函數：$\mu(n)$

$\begin{cases}
& \text{ if } x= \prod_{i=1}^kp_i\;\;\mu(x)=(-1)^k\\
\\
& \text{ else }\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mu(x)=0
\end{cases}$

　　 我們引入一個概念，狄利克雷卷積。即$（f*g）(n)=\sum_{d|n}f(d)*g(\frac n d)$。顯然，狄利克雷卷積是滿足交換律的。同時其也滿足結合律與分配率。

　　在引入一個概念，積性函數，即函數$f$對於互質的兩個數$i，j$滿足$f(i*j)=f(i)*f(j)$。其中如果對於任意$i,j$滿足$f(i*j)=f(i)*f(j)$，我們稱其為完全積性函數。

　　再例舉一些函數的符號：歐拉函數$\phi$，約數個數函數$d$，約數和函數$\sigma$，單位函數$id(n)=n$，元函數$\varepsilon(n)$,當n為1時，$\varepsilon(n)=1$，否則$\varepsilon(n)=0$，以及不變的函數$1(n)=1$。

　　這裏給出一個線性篩的板子：

 1 const int N=1e7+1;
 2  
 3
 
 int miu[N],prim[N/5],num,sum[N];
 4 bool vis[N];
 5  
 6 inline void init(){
 7     miu[1]=1;
 8     sum[1]=1;
 9     for(int i=2;i<N;i++){
10         if(!vis[i])
11             prim[++num]=i,miu[i]=-1;
12         for(int j=1;prim[j]*i<N;j++){
13             vis[i*prim[j]]=1;
14             if
 
(i%prim[j]==0){
15                 miu[i*prim[j]]=0;
16                 break;
17             }
18             miu[i*prim[j]]=-miu[i];
19         }
20         sum[i]=sum[i-1]+miu[i];
21     }
22 }

2.莫比烏斯函數的性質

　　這一段是從目前做過的題總結的，以後沒準還得改（沒準寫的不夠……）

　　 莫比烏斯函數一個十分總要的性質，即$(\mu *1)(n)$當且僅當$n==1$時，為1，否則為0。

　　關於這個的證明用 二項式定理+唯一分解定理 是很好證明的，這裏就不多說了。

3.莫比烏斯反演

　　關於這塊，一來是式子太長，二來是百度已經寫得很全面了，所以蒟蒻就不獻醜了。

　　參考鏈接：百度百科。

　　我想，這裏比較重要的一個性質是：$F(n)=(f*1)(n)$，若$f$為積性函數，則$F(n)$也是積性函數。

　　證明如下：

　　設$\gcd (n,p)==1$。

　　$F(n*p)=\sum_{i|n}\sum_{j|p}f(i*j)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{j|p}f(j)=F(n)*F(p)$

　　證畢。

　　這個性質在我們反演出一個形如$ans=\sum_{i=1}^{n}g(i)\sum_{d|i}f(d)$的式子時，若$f$為積性函數，則我們可以將這個式子時間復雜度優化到至少$O(n)$。

　　例如：

　　$$F(n)=\sum_{i|n}\mu(i)*i*n$$

4.關於做題

　　這個我也沒有什麽發言權，畢竟我太弱了……但還是想總結一下自己的想法。

　　反演最重要的是$gcd(i,j)==1$等價為$\sum_{d|t}\mu(d),t=gcd(i,j)$這一式子，在目前所遇到的題目中，關鍵都是如何將題目給出的內容轉化為$gcd$，並且正確的化解，這個我也不怎麽會，只能多練習了。

5.總結

　　個人覺得一些基本證明會不會都不是很重要，畢竟也不可能考為什麽$id=(\phi*1)$之類的，明白其過程，對思考有啟發就足以。

6.一些題目：

　　　BZOJ　YY的GCD

　　BZOJ 4176 Lucas的數論
　　BZOJ 3930 CQOI2015 選數
　　bzoj2693: jzptab
　　BZOJ 4174 tty的求助
　　BZOj　3601：一個人的數論

【莫比烏斯反演】——蒟蒻的理解