題目分析：

比較有意思，但是套路的數學題。

題目要求$ \prod_{i=1}^{n} \prod_{j=1}^{m}Fib(gcd(i,j)) $.

註意到$ gcd(i,j) $有大量重復，采用莫比烏斯反演。可以寫成：

$ \prod_{i=1}^{min(n,m)}Fib(i)^{\sum_{i|d}\mu(\frac{d}{i})\lfloor \frac{n}{d}\rfloor\lfloor \frac{m}{d}\rfloor} $.

更進一步的，我們可以發現冪是一個求和，那麽把求和依次提出，再重新組合在一起，就變成了：

$ \prod_{i=1}^{min(n,m)}(\prod_{i|d}Fib(i)^{\mu(\frac{d}{i})})^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} $.

可以發現最外層的積的下標是$ i $或$ d $對答案沒有影響，原因我們可以考慮當下標是$ i $的時候，它會對它的每個倍數產生影響，而倍數的影響是不論$ i $的。所以對於每個倍數我們同樣可以枚舉因數，式子可以寫成：

$ \prod_{d=1}^{min(n,m)}(\prod_{i|d}Fib(i)^{\mu(\frac{d}{i})})^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor\lfloor\frac{m}{d}\rfloor} $.

註意這個式子，它的裏層是一個只與當前的$ d $有關的式子，而外層是一個典型的分塊。那麽我們預處理出裏面的情況並做前綴積，外面再采用分塊，這道題就可以順利解決。

對於裏面的式子，我們需要$ O(nlog{n}) $進行預處理，而每個詢問我們可以分塊解決，單次詢問的時間復雜度是$ O(\sqrt{n}log{n}) $所以時間復雜度是$O(nlog{n}+T\sqrt{n}log{n})$.

註意到這題沒有用到斐波那契數列的任何性質，所以函數$ Fib(x) $可以改成任意其它函數。

代碼：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 const int mod = 1000000007;
 5 const int maxn = 1000005;
 6 
 7 const int N = 1000000
 
;
 8 
 9 int n,m;
10 int Fib[maxn],Inv[maxn];
11 int MFib[maxn],MInv[maxn];
12 
13 int flag[maxn],prime[maxn>>3],mu[maxn],num;
14 
15 int fast_pow(int now,long long pw){
16     int z = now,ans = 1;long long im = 1;
17     while(im <= pw){
18     if(im & pw) ans = (1ll*ans*z)%mod;
19     z = (1ll*z*z)%mod; im <<= 1;
20     }
21     return ans;
22 }
23 
24 void GetMiu(){
25     flag[1] = 1;mu[1] = 1;
26     for(int i=2;i<=N;i++){
27     if(!flag[i]) prime[++num] = i,mu[i] = -1;
28     for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<=N;j++){
29         flag[i*prime[j]] = 1;
30         if(i % prime[j] == 0) {mu[i*prime[j]] = 0;break;}
31         else mu[i*prime[j]] = -mu[i];
32     }
33     }
34 }
35 
36 void init(){
37     GetMiu();
38     Fib[0] = 0; Fib[1] = 1;
39     for(int i=2;i<=N;i++) Fib[i] = (Fib[i-1]+Fib[i-2])%mod;
40     for(int i=0;i<=N;i++) Inv[i] = fast_pow(Fib[i],mod-2);
41     for(int i=0;i<=N;i++) MFib[i] = 1;
42     for(int i=1;i<=N;i++){
43     for(int j=1;i*j<=N;j++){
44         if(mu[j] == 0) continue;
45         if(mu[j] == 1) MFib[i*j] = (1ll*MFib[i*j]*Fib[i])%mod;
46         else MFib[i*j] = (1ll*MFib[i*j]*Inv[i])%mod;
47     }
48     }
49     for(int i=1;i<=N;i++) MFib[i] = (1ll*MFib[i]*MFib[i-1])%mod;
50     for(int i=0;i<=N;i++) MInv[i] = fast_pow(MFib[i],mod-2);
51 }
52 
53 void work(){
54     int res = 1;
55     for(int i=1;i<=min(n,m);){
56     int nxt = min(n/(n/i),m/(m/i));
57     long long z1 = 1ll*(n/i)*(m/i);
58     res = (1ll*res*fast_pow((1ll*MFib[nxt]*MInv[i-1])%mod,z1))%mod;
59     i = nxt+1;
60     }
61     printf("%d\n",res);
62 }
63 
64 int main(){
65     init();
66     int T; scanf("%d",&T);
67     while(T--){
68     scanf("%d%d",&n,&m);
69     work();
70     }
71     return 0;
72 }

洛谷3704 [SDOI2017] 數字表格 【莫比烏斯反演】