首先先推第一個

∑d|nϕ(d)=n
我是這樣想的每一個數字都可以分解為多個素數的乘積，那麼n=Pa11×Pa22......Pakk
假設這個時候我們將n乘Pk那麼就變成了n=Pa11×Pa22......Pak+1k
我們發現對於n來說其他的不是Pk的因數完全沒有收到影響，那麼其他的沒有Pk的就可以表示為f(n)=∑d|n∑t|d,t|Pkμ(t)ϕ(d) 這個地方的莫比烏斯函式起到的作用就是令d和 P_k互質，這樣的話 P_k就不會對f(n)造成影響
因為尤拉函式是積性函式那麼令F(n)=∑d|nϕ(d)
那麼F(n)=f(n)×(ϕ(1)+ϕ(Pk)+ϕ(P2k)......

+ϕ(Pakk))
同理F(n×Pk)=f(n)×(ϕ(1)+ϕ(Pk)+ϕ(P2k)......+ϕ(Pakk)+ϕ(Pak+1k))
那麼可以發現化簡後就變成了ϕ(Ptk)=Ptk−Pt−1k
F(n)=f(n)×(Pakk−Pak−1k+Pkak−1...+Pk−1+1)F(n)=Pakk×f(n)
同理F(n×Pk)=Pak+1k×f(n×Pk)
因為 P_k 在函式f 中沒有產生影響 (因為之前的f(n)統計的是d中沒有 P_k這個因數的d的尤拉函式和，n多一個因數P_k對f(n)沒有產生影響 )所以F(n×Pk)=Pak+1k×f(n) 所以 F(n×Pk)F(n)=Pa

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