題目描述

　　給你一個圖，每條邊有一個權值。要求你選一些邊，滿足對於每條從\(1\)到\(n\)的路徑上（可以不是簡單路徑）有且僅有一條被選中的邊。問你選擇的邊的邊權和最小值。

　　\(n\leq 100\)

題解

　　先把整張圖分為兩個集合\(S,T\)，其中\(S\)是從原點開始BFS能夠到達的點組成的集合，\(T\)是剩下的點組成的集合。

　　如果沒有在一條路徑上只能選一條邊的限制，就是一個普通的網絡流了。

　　我們看看什麽情況下這個條件不會被滿足。

　　上面這個圖中我們選擇了\((1,2)\)和\((4,6)\)。\(S=\{1,3,4\},T=\{2,5,6\}\)。

　　可以發現如果多次從\(S\)

　　所以一旦走到\(T\)後就不能走回\(S\)。　　

　　如果一條邊從\(T\)指向\(S\)，那麽這條邊的反向邊就滿流了。

　　為了避免這種情況，只需要把反向邊的容量設為\(\infty\)。

　　坑點：如果一條邊的兩個斷點與\(S\)或\(T\)不連通，就不要連邊。

　　時間復雜度：\(O(\)能過\()\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
 

#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll inf=1e15;
namespace flow
{
    int v[100010];
    ll c[100010];
    int t[100010];
    int h[100010];
    int n;
    void add(int x,int y,ll a)
    {
        n++;
        v[n]=y;
        c[n]=a;
        t[n]=h[x];
        h[x]=n;
    }
    int
 
 d[100010];
    int e[100010];
    int op(int x)
    {
        return ((x-1)^1)+1;
    }
    int S,T;
    queue<int> q;
    int num;
    int cur[100010];
    void bfs()
    {
        memset(d,-1,sizeof d);
        d[T]=0;
        q.push(T);
        int x,i;
        while(!q.empty())
        {
            x=q.front();
            q.pop();
            e[d[x]]++;
            for(i=h[x];i;i=t[i])
                if(c[op(i)]&&d[v[i]]==-1)
                {
                    d[v[i]]=d[x]+1;
                    q.push(v[i]);
                }
        }
    }
    ll dfs(int x,ll flow)
    {
        if(x==T)
            return flow;
        ll s=0,u;
        for(int &i=cur[x];i;i=t[i])
            if(c[i]&&d[v[i]]==d[x]-1)
            {
                u=dfs(v[i],min(flow,c[i]));
                s+=u;
                flow-=u;
                c[i]-=u;
                c[op(i)]+=u;
                if(!flow)
                    return s;
            }
        e[d[x]]--;
        if(!e[d[x]])
            d[S]=num;
        d[x]++;
        e[d[x]]++;
        cur[x]=h[x];
        return s;
    }
    ll solve()
    {
        ll ans=0;
        bfs();
        memcpy(cur,h,sizeof h);
        while(d[S]>=0&&d[S]<=num-1)
            ans+=dfs(S,inf);
        return ans;
    }
}
void add(int x,int y,int c)
{
    flow::add(x,y,c);
    flow::add(y,x,inf);
}
int f[110][110];
int lx[2510];
int ly[2510];
int lz[2510];
int n,m;
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("b.in","r",stdin);
    freopen("b.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&lx[i],&ly[i],&lz[i]);
        lx[i]++;
        ly[i]++;
        f[lx[i]][ly[i]]=1;
    }
    for(k=1;k<=n;k++)
        for(i=1;i<=n;i++)
            if(i!=k&&f[i][k])
                for(j=1;j<=n;j++)
                    if(j!=i&&j!=k)
                        f[i][j]|=f[i][k]&&f[k][j];
    for(i=1;i<=n;i++)
        f[i][i]=1;
    flow::S=1;
    flow::T=n;
    flow::num=n;
    for(i=1;i<=m;i++)
        if(f[1][lx[i]]&&f[ly[i]][n])
            add(lx[i],ly[i],lz[i]);
    ll ans=flow::solve();
    if(ans>=inf)
        printf("-1\n");
    else
        printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

【XSY2708】hack 網絡流