題目描述

　　有一個長度為\(n\)的排列\(n=2^k\)，你要把這個數組歸並排序。但是在長度為\(2\)的時候有\(\frac{1}{2}\)的概率會把兩個數交換（就是有\(\frac{1}{2}\)的概率返回錯的結果）。有兩種操作

　　\(1\)：交換兩個數

　　\(2\)：詢問排序後的一個位置等於一個數的概率。

　　\(k\leq 16,q\leq {10}^5\)

題解

　　這個排序有點奇怪。兩個數\(a,b(a<b)\)排序後可能是\(ab\)也可能是\(ba\)。

　　觀察到\(ab\)會正常排序，而\(ba\)中\(a\)會一直跟著\(b\)，所以可以把\(a\)看成\(b+0.5\)

　　這樣就會有一些數確定，有些數是兩個數中的一個。

　　用兩個樹狀數組維護小的數和大的數不超過\(x\)的個數，每次詢問用組合數亂搞即可。

　　時間復雜度：\(O((n+q)\log n)\)

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace
 
 std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
void sort(int &a,int &b)
{
    if(a>b)
        swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    char str[100];
    sprintf(str,"%s.in",s);
    freopen(str,"r"
 
,stdin);
    sprintf(str,"%s.out",s);
    freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd()
{
    int s=0,c;
    while((c=getchar())<'0'||c>'9');
    do
    {
        s=s*10+c-'0';
    }
    while((c=getchar())>='0'&&c<='9');
    return s;
}
void put(int x)
{
    if(!x)
    {
        putchar('0');
        return;
    }
    static int c[20];
    int t=0;
    while(x)
    {
        c[++t]=x%10;
        x/=10;
    }
    while(t)
        putchar(c[t--]+'0');
}
int upmin(int &a,int b)
{
    if(b<a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
int upmax(int &a,int b)
{
    if(b>a)
    {
        a=b;
        return 1;
    }
    return 0;
}
const ll p=1000000007;
ll fp(ll a,ll b)
{
    ll s=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%p)
        if(b&1)
            s=s*a%p;
    return s;
}
int n,a[100010];
int c1[200010];
int c2[200010];
void add(int *c,int x,int v)
{
    for(;x<=2*n;x+=x&-x)
        c[x]+=v;
}
int sum(int *c,int x)
{
    int s=0;
    for(;x;x-=x&-x)
        s+=c[x];
    return s;
}
int a1[100010];
int a2[100010];
int o(int x)
{
    return ((x-1)^1)+1;
}
void add(int x,int v)
{
    int y=o(x);
    if(a[x]>a[y])
    {
        add(c1,2*a[x]-1,v);
        add(c2,2*a[x]-1,v);
        a1[x]=a2[x]=2*a[x]-1;
    }
    else
    {
        add(c1,2*a[x]-1,v);
        add(c2,2*a[y],v);
        a1[x]=2*a[x]-1;
        a2[x]=2*a[y];
    }
}
ll inv[100010];
ll fac[100010];
ll ifac[100010];
ll c(int x,int y)
{
    if(x<y)
        return 0;
    if(y<0)
        return 0;
    return fac[x]*ifac[y]%p*ifac[x-y]%p;
}
ll query(int x,int y,int b=0)
{
    ll ans=1;
    x--;
    y--;
    int s1=sum(c2,y);
    int s2=sum(c1,y)-s1;
    if(b)
        s2--;
    ans=ans*c(s2,x-s1)%p*fp(inv[2],s2)%p;
    return ans;
}
int main()
{
    open("c");
    scanf("%d",&n);
    int i;
    inv[0]=inv[1]=fac[0]=fac[1]=ifac[0]=ifac[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        inv[i]=-p/i*inv[p%i]%p;
        fac[i]=fac[i-1]*i%p;
        ifac[i]=ifac[i-1]*inv[i]%p;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        add(i,1);
    int q;
    scanf("%d",&q);
    int op,x,y;
    for(i=1;i<=q;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&op,&x,&y);
        if(op==1)
        {
            add(x,-1);
            add(y,-1);
            add(o(x),-1);
            add(o(y),-1);
            swap(a[x],a[y]);
            add(x,1);
            add(y,1);
            add(o(x),1);
            add(o(y),1);
        }
        else
        {
            ll ans;
            if(a1[x]==a2[x])
                ans=query(y,a1[x]);
            else
                ans=(query(y,a1[x])+query(y,a2[x],1))*inv[2]%p;
            ans=(ans+p)%p;
            printf("%lld\n",ans);
        }
    }
    return 0;
}

【XSY2669】歸並排序 樹狀數組 簡單組合數學