0 為什麽會有多叉樹

當在程序中存儲數據的時候，可以使用二叉搜索樹。

當輸入的過於均勻的時候可能生成深度過大的二叉搜索樹，最壞的情況是，輸入節點的key按照大小排序，此時生成的二叉搜索樹就是一個鏈表了。

因此，為了避免這種情況的出現，可以使用平衡二叉樹，例如AVL和紅黑樹。

但二叉搜索樹只是適用於數據存儲在內存中的情況。

當數據量過大，不能完全的在內存中存儲時，就需要將數據存儲到磁盤上。

為了檢索方便，仍然使用樹的結構。

如果存放在磁盤中的數據，仍然采用二叉搜索樹的形式，當磁盤中讀取出一塊數據，根據key的值，判斷目標應該在左子樹中，然後磁盤再去讀取左子樹數據所在磁盤位置的數據。然後叠代這個過程，直到找到了目標數據。

但是，磁盤每次讀取數據都需要一定的時間。因此樹高越大，那麽平均讀取依次數據需要讀取的磁盤次數也就越多。

cpu的計算速度遠快與磁盤讀取的次數，因此應該減少樹高，降低磁盤的讀取次數。

所以在每個節點中除了本節點key對應的值，再存儲多個子樹。而不是像二叉搜索樹，只存放左右子節點。

此時該結構就是B樹

2 B樹

2.1 結構

B樹的每個節點存放：

1. 一個數值n，表示該節點中存在的節點個數。
2. n個節點本身，按照節點關鍵字非降序存放（也就是從小打到），這n個節點的關鍵字，分割了本節點的n個子樹中key的取值範圍。
3. 一個布爾值，表示概述是否是一個葉節點
4. n+1個指針指向每一個子樹，取值範圍被n個關鍵字分割

註意：父節點的指針在子樹中的指向。

2.2 特點

B樹具有

1. 每個葉節點的樹高相同
2. 每個節點所包含關鍵字個數有上下界。稱為B樹的最小度數。用t表示，一個大節點中小節點的個數最少為t-1個，最多為2t-1，其子樹數量最多為2t個。因此當t=2時，為2-3-4樹。t越大，樹高越小
3. B樹的根至少包含一個子樹，其他節點至少有t個子樹

2.3 搜索

B樹的根節點時鐘在主存中。

搜索過程：

Node *serch(Node *root,int k)
{
    int i=0;
    for(;i<=root.n,k>x.key[i],++i)
    {

    }
    if(k==x.key[i])
    {
        return x.child[i];
    }else if(x.leaf == true)
    {
        return nullptr;
    }else{
        return serch(read(x.key),k);
    }
}

2.4 插入

B樹的插入，B樹的插入仍然和二叉樹的插入步驟類似，也就是說都要先判斷插入位置。

但是多了一個判斷：那麽就是一個節點中可存儲的節點個數，不能超過2t。當超過2t個的時候，需要這樣做。

1. 遍歷找到要插入的位置。
2. 判斷大節點中小節點的個數，如果為2t。那麽用本大節點中的中間節點將小結一分為二，將第n/2+1個節點上升到父節點。
3. 如果父節點中小節點的個數也為2t了，那麽父節點重復上述分裂過程

2.5 刪除

刪除節點過程：

1. 每次刪除一個節點的時候，都需要判斷該節點的父節點，叔叔節點，祖父節點中的子節點個數。如果刪除目標節點以後，父節點，叔叔節點，祖父節點的小節點個數滿足<=2t那麽合並這三個節點為一個節點
2. 具體的刪除每個節點的策略：
   1. 當目標小節點是位於所有小節點中間的時候，那麽就合並該小節點兩邊指向的兩個子節點。
   2. 當目標小節點是所有小節點之後的節點的時候，那麽就從該節點指出的兩個子樹的節點中選出一個大於t的節點，然後將其換到目標節點處。如果都不夠，那麽先合並兩個子節點，然後提出中間節點。

下面是三種刪除的情況，只有兩層，沒有三層。

3 B+樹

B數，B+樹