【引入】

有一批燈泡，知其平均壽命是 $E(X)=1000$ （小時）。僅由這一指標我們還不能判定這批燈泡的質量好壞。

事實上，有可能其中絕大部分燈泡的壽命都在950~1050小時；

也有可能其中約有一半是高質量的，它們的壽命大約有1300小時，另一半卻是質量很差的，其壽命大約只有700小時，

為要評定這批燈泡質量的好壞，還需進一步考察燈泡的壽命 $X$ 與其平均值 $E(X)=1000$ 的偏離程度。

若偏離程度較小，表示質量比較穩定。從這個意義上來說，我們認為質量較好。

前面也曾提到在檢驗棉花的質量時，既要註意纖維的平均長度，還要註意纖維長度與平均長度的偏離程度。

由此可見，研究隨機變量與其構成的偏離程度是必要的。

那麽，用怎樣的量去度量這個偏離程度呢？

容易看到 $E\{ |X-E(X)|\}$ 能度量隨機變量與其均值 $E(X)$ 的偏離程度，

但由於上式帶有絕對值，運算不方便，為運算方便起見，通常用量 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 來度量隨機變量X與其均值 $E(X)$ 的偏離程度。

【定義】

設 $X$ 是一個隨機變量，若 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 存在，則稱 $E\{ [X-E(X)]^2\}$ 為 $X$ 的方差，記為 $D(X)$ 或 $Var(X)$，

即

$$D(X)=Var(X)=E\{ [X-E(X)]^2\}\tag{2.1}$$

在應用上還引入量 $\sqrt{D(X)}$ ，記為 $\sigma (X)$ ，稱為標準差或均方差。

按定義，隨機變量 $X$ 的方差表達了 $X$ 的取值與其數學期望的偏離程度。

若 $D(X)$ 較小意味著 $X$ 的取值比較集中在 $E(X)$ 的附近，反之，若 $D(X)$ 較大則表示 $X$ 的取值較分散。

因此， $D(X)$ 是刻畫 $X$ 取值分散程度的一個量，它是衡量 $X$ 取值分散程度的一個尺度。

由定義知，方差實際上就是隨機變量 $X$ 的函數 $g(X)=(X-E(X))^2$ 的數學期望。

於是對於離散型隨機變量，按（1.3）式有

$$D(X)=\sum_{k=1}^{\infty}[x_k-E(X)]^2p_k\tag{2.2}$$

其中，$P\{ X=x_k\}=p_k,k=1,2,…$ 是 $X$ 的分布律

對於連續型隨機變量，按（1.4）式有

$$D(X)=\int_{-\infty}^{\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx\tag{2.3}$$

其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度

隨機變量 $X$ 的方差可按下列公式計算

$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\tag{2.4}$$

證：

【例1】標準化變量

【例2】（離散）（0-1）分布

【例3】（離散）泊松分布

【例4】（連續）均勻分布

【例5】（連續）指數分布

方差的性質

1.設 $C$ 是常數，則 $D(C)=0$

證：

2.設 $X$ 是隨機變量，$C$ 是常數，則有 $D(CX)=C^2D(X),\qquad D(X+C)=D(X)$

證：

3.設 $X,Y$ 是兩個隨機變量，則有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E\{ (X-E(X)(Y-E(Y)))\}$

特別，若 $X,Y$ 相互獨立，則有 $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

這一性質可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機變量之和的情況。

證：

4. $D(X)=0$ 的充要條件是 $X$ 以概率1取常數 $E(X)$ ，即 $P\{ X=E(X)\} =1$

證：

【例6】（離散）二項分布

【例7】（連續）正態分布

【例8】

【定理】切比雪夫不等式

證：

數字特征：方差