題目描述

給出 $n$ 個數 $a_1,a_2,...,a_n$ ，將其排為序列 $\{p_i\}$ ，滿足 $\{前\ i\ 個數的中位數\}$ 單調不降。求字典序最大的 $\{p_i\}$ 。

其中，對於一個長度為 $m$ 的數列，若 $m$ 為奇數，則中位數為從小到大第 $\lceil\frac m2\rceil$ 大的數；若 $m$ 為偶數，則中位數為從小到大第 $\frac m2$ 大和第 $\frac m2+1$ 大的數的平均值。

題解

對頂堆+STL-set

顯然如果已經知道了這個數列的一部分，剩下的一定是每次加入大於等於中位數的數。

那麽如何確定這一“部分呢”？將 $a$ 從小到大排序，然後：

• 如果 $a_{\lceil\frac n2\rceil}=a_{\lceil\frac n2+1\rceil}$ ，則可以讓任何時刻中位數都等於 $a_{\lceil\frac n2\rceil}$ ，找到最大的 $k$ 使得 $a_k+1=a_{\lceil\frac n2\rceil}$ ，按照 $k,k+1,k-1,k+2,k-2,...$ 的順序選擇完整個數列即可得到最優解，顯然任何時刻中位數都相等。沒有考慮到這種情況可以得到60分。
• 否則如果存在 $k<\lceil\frac n2\rceil$ 且 $a_k=a_{k+1}$ ，則按照 $k,k+1,k-1,k+2,k-2,...$ 的順序選擇，直到前面沒有數可以取，這個過程中位數都相等。沒有考慮到這種情況只能得到所有數互不相同的40分。
• 否則選擇第一個數。

然後使用multiset保證每次刪除後最小的數大於等於中位數，使用對頂堆維護中位數即可。

對頂堆：使用大根堆維護較小數，使用小根堆維護大數，保證兩個堆的大小差不超過1。顯然中位數可以直接從兩個堆的堆頂元素得到。

時間復雜度 $O(n\log n)$ 。

#include <set>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
using namespace std;
multiset<int> s;
priority_queue<int> A , B;
int a[N] , v[N];
inline void push(int x)
{
	if(A.empty() || x <= A.top()) A.push(x);
	else B.push(-x);
	if(A.size() < B.size()) A.push(-B.top()) , B.pop();
	if(A.size() - B.size() > 1) B.push(-A.top()) , A.pop();
}
int main()
{
	int T;
	scanf("%d" , &T);
	while(T -- )
	{
		memset(v , 0 , sizeof(v));
		while(!A.empty()) A.pop();
		while(!B.empty()) B.pop();
		int n , i , p , q , mid;
		scanf("%d" , &n);
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]);
		sort(a + 1 , a + n + 1) , mid = (n + 1) >> 1;
		if(a[mid] == a[mid + 1])
		{
			while(mid < n && a[mid] == a[mid + 1]) mid ++ ;
			printf("%d" , a[mid]) , p = mid - 1 , q = n;
			while(p || q > mid)
			{
				if(p) printf(" %d" , a[p -- ]);
				if(q > mid) printf(" %d" , a[q -- ]);
			}
			continue;
		}
		while(mid > 1 && a[mid] != a[mid - 1]) mid -- ;
		printf("%d" , a[mid]) , v[mid] = 1 , p = mid - 1 , q = n;
		while(p && q > mid) printf(" %d" , a[p]) , v[p -- ] = 1 , printf(" %d" , a[q]) , v[q -- ] = 1;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		{
			if(v[i]) push(a[i]);
			else s.insert(a[i]);
		}
		while(!s.empty())
		{
			p = *s.begin();
			if(A.size() == B.size())
			{
				if(p >= -B.top()) q = *--s.end();
				else q = *s.begin();
			}
			else
			{
				if(!B.empty() && p * 2 >= A.top() - B.top()) q = *--s.end();
				else q = *--s.upper_bound(p * 2 - A.top());
			}
			printf(" %d" , q) , s.erase(s.find(q)) , push(q);
		}
		if(T) puts("");
	}
	return 0;
}

【uoj#280】[UTR #2]題目難度提升 對頂堆+STL-set