【題目】F - Yakiniku Restaurants

【題意】給定n和m，有n個飯店和m張票，給出Ai表示從飯店i到i+1的距離，給出矩陣B(i,j)表示在第i家飯店使用票j的收益，求任選起點和終點的最大（收益-代價）。n<=5000,m<=200。

【算法】單調棧+矩陣差分

【題解】直接枚舉區間，很難同時計算m張票，我們反過來考慮每個B(i,j)的貢獻。

對於B(i,j)，令x為滿足x<i,B(x,j)>B(i,j)的最大的x，令y為滿足y>i,B(y,j)>B(i,j)的最小的y，則B(i,j)會對所有l∈[x+1,i]&&r∈[i,y-1]的區間貢獻。

其中，x和y可以維護單調棧求得。（因為求最大，所以越早越沒用）

現在將區間[x,y]視為平面上的點(x,y)，那麽就是矩陣加B(i,j)，最後掃描每個點，這個用差分就可以了。

復雜度O(n^2+nm)。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=5010;
int n,m,b[maxn][maxn],s[maxn],l[maxn][maxn],r[maxn][maxn],w[maxn];
ll a[maxn],A[maxn][maxn];
 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=2;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),a[i]+=a[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&b[j][i]);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int top=0;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            while(top&&b[i][j]>s[top])top--;
            
 
if(top)l[i][j]=w[top]+1;else l[i][j]=1;
            s[++top]=b[i][j];w[top]=j;
        }
        top=0;
        for(int j=n;j>=1;j--){
            while(top&&b[i][j]>s[top])top--;
            if(top)r[i][j]=w[top]-1;else r[i][j]=n;
            s[++top]=b[i][j];w[top]=j;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++){
            A[l[i][j]][j]+=b[i][j];
            A[l[i][j]][r[i][j]+1]-=b[i][j];
            A[j+1][j]-=b[i][j];
            A[j+1][r[i][j]+1]+=b[i][j];
        }
    }
    ll ans=-1ll<<60;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]+=A[i][j-1];
        for(int j=1;j<=n;j++)A[i][j]+=A[i-1][j];
        for(int j=i;j<=n;j++)ans=max(ans,A[i][j]-a[j]+a[i]);
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

其它寫法：

1.考慮每個數貢獻b(j,i)-b(p(j),i)，其中p(j)表示它到左邊第一個大於它的數之間最大的數字，考慮刪除後修改的是一條遞增鏈，可以預處理，復雜度均攤。

2.

【AtCoder】ARC067 F - Yakiniku Restaurants 單調棧+矩陣差分