#1378 : 網絡流二·最大流最小割定理

描述

小Hi：在上一周的Hiho一下中我們初步講解了網絡流的概念以及常規解法，小Ho你還記得內容麽？

小Ho：我記得！網絡流就是給定了一張圖G=(V,E)，以及源點s和匯點t。每一條邊e(u,v)具有容量c(u,v)。網絡流的最大流問題求解的就是從s到t最多能有多少流量。

小Hi：那這個問題解決辦法呢？

小Ho：解決網絡流的基本思路就是尋找增廣路，不斷更新殘留網絡。直到找不到新的增廣路，此時得到的流就是該網絡的最大流。

小Hi：沒錯，看來你記得很牢嘛。

小Ho：哎嘿嘿，不過這裏我有一個問題，為什麽找不到增廣路時就已經找到了最大流呢？

小Hi：這一次我就來解決你的疑惑，首先我們要從網絡流的割開始講起。

對於一個網絡流圖G=(V,E)，其割的定義為一種點的劃分方式：將所有的點劃分為S和T=V-S兩個部分，其中源點s∈S，匯點t∈T。

對於一個割(S,T)，我們定義凈流f(S,T)表示穿過割(S,T)的流量之和，即：

f(S,T) = Σf(u,v) | u∈S,v∈T

舉個例子(該例子選自算法導論)：

凈流f = f(2,4)+f(3,4)+f(3,5) = 12+(-4)+11 = 19

同時我們定義割的容量C(S,T)為所有從S到T的邊容量之和，即：

C(S,T) = Σc(u,v) | u∈S,v∈T

同樣在上面的例子中，其割的容量為：

c(2,4)+c(3,5)=12+14=26

小Ho：也就是說在計算割(S,T)的凈流f(S,T)時可能存在反向的流使得f(u,v)<0，而容量C(S,T)一定是非負數。

小Hi：你這麽說也沒錯。實際上對於任意一個割的凈流f(S,T)總是和網絡流的流量f相等。比如上面例子中我們改變一下割的方式：

可以計算出對於這兩種情況凈流f(S,T)仍然等於19。

一個直觀的解釋是：根據網絡流的定義，只有源點s會產生流量，匯點t會接收流量。因此任意非s和t的點u，其凈流量一定為0，也即是Σ(f(u,v))=0。而源點s的流量最終都會通過割(S,T)的邊到達匯點t，所以網絡流的流f等於割的靜流f(S,T)。

嚴格的證明如下：

f(S,T) = f(S,V) - f(S,S)
從S到T的流等於從S到所有節點的流減去從S到S內部節點的流
f(S,T) = f(S,V)
由於S內部的節點之間存在的流一定有對應的反向流，因此f(S,S)=0
f(S,T) = f(s,V) + f(S-s,V)
再將S集合分成源點s和其他屬於S的節點
f(S,T) = f(s,V)
由於除了源點s以外其他節點不會產生流，因此f(S-s,V)=0
f(S,T) = f(s,V) = f

所以f(S,T)等於從源點s出來的流，也就是網絡的流f。

小Ho：簡單理解的話，也就是說任意一個割的凈流f(S,T)都等於當前網絡的流量f。

小Hi：是這樣的。而對於任意一個割的凈流f(S,T)一定是小於等於割的容量C(S,T)。那也即是，對於網絡的任意一個流f一定是小於等於任意一個割的容量C(S,T)。

而在所有可能的割中，存在一個容量最小的割，我們稱其為最小割。

這個最小割限制了一個網絡的流f上界，所以有：

對於任一個網絡流圖來說，其最大流一定是小於等於最小割的。

小Ho：但是這和增廣路又有什麽關系呢？

小Hi：接下來就是重點了。利用上面講的知識，我們可以推出一個最大流最小割定理：

對於一個網絡流圖G=(V,E)，其中有源點s和匯點t，那麽下面三個條件是等價的：
1. 流f是圖G的最大流
2. 殘留網絡Gf不存在增廣路
3. 對於G的某一個割(S,T)，此時f = C(S,T)

首先證明1 => 2：

我們利用反證法，假設流f是圖G的最大流，但是殘留網絡中還存在有增廣路p，其流量為fp。則我們有流f‘=f+fp>f。這與f是最大流產生矛盾。

接著證明2 => 3：

假設殘留網絡Gf不存在增廣路，所以在殘留網絡Gf中不存在路徑從s到達t。我們定義S集合為：當前殘留網絡中s能夠到達的點。同時定義T=V-S。
此時(S,T)構成一個割(S,T)。且對於任意的u∈S,v∈T，有f(u,v)=c(u,v)。若f(u,v)<c(u,v)，則有Gf(u,v)>0，s可以到達v，與v屬於T矛盾。
因此有f(S,T)=Σf(u,v)=Σc(u,v)=C(S,T)。

最後證明3 => 1：

由於f的上界為最小割，當f到達割的容量時，顯然就已經到達最大值，因此f為最大流。

這樣就說明了為什麽找不到增廣路時，所求得的一定是最大流。

小Ho：原來是這樣，我明白了。

輸入

第1行：2個正整數N,M。2≤N≤500，1≤M≤20,000。

第2..M+1行：每行3個整數u,v,c(u,v)，表示一條邊(u,v)及其容量c(u,v)。1≤u,v≤N，0≤c(u,v)≤100。

給定的圖中默認源點為1，匯點為N。可能有重復的邊。

輸出

第1行：2個整數A B，A表示最小割的容量，B表示給定圖G最小割S集合的點數。

第2行：B個空格隔開的整數，表示S集合的點編號。

若存在多個最小割可以輸出任意一個的解。

樣例輸入

6 7
1 2 3
1 3 5
2 4 1
3 4 2
3 5 3
4 6 4
5 6 2

樣例輸出

5 4
1 2 3 5

分析：題目中的S集合就是包含源點s的集合，先跑一遍最大流(dinic)，求出殘余網絡
再bfs分層，此時從源點能遍歷到的點都是S集中的點，因為最小割的邊一定是滿流的，即殘余流量為0。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define INF 999999999 
using namespace std;
int map[502][502];
int N,M;
int dis[502],p[502];

int bfs()
{
    memset(dis,-1,sizeof(dis));
    dis[1]=0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=1;i<=N;i++)
        if(dis[i]==-1&&map[u][i]>0)
        {
            dis[i]=dis[u]+1;
            q.push(i);
        }
    }
    if(dis[N]>0) return 1;
    return 0;
}

int dfs(int cur,int m)
{
    if(cur==N) return m;
    int f,res=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        if(dis[i]==dis[cur]+1&&map[cur][i]>0&&(f=dfs(i,min(m,map[cur][i]))))
        {
            map[cur][i]-=f;
            map[i][cur]+=f;
            res+=f;
            m-=f;
            if(!m) break;
        }
    }
    if(res) return res;
    dis[cur]=-1;
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&N,&M);
    for(int i=0;i<M;i++)
    {
        int s,t,c;
        scanf("%d%d%d",&s,&t,&c);
        map[s][t]+=c;
    }
    int ans=0,res;
    while(bfs())
        while(res=dfs(1,INF))
            ans+=res;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    if(dis[i]!=-1) p[cnt++]=i;
    printf("%d %d\n",ans,cnt);
    for(int i=0;i<cnt;i++) printf("%d ",p[i]);
    printf("\n");
    return 0;
}

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hihoCoder1378 (最大流最小割)